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2021年高考数学天津16<-->2021年高考数学天津18
17．（15分）如图，在棱长为2的正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别为棱$BC$，$CD$的中点．
（1）求证：$D_{1}F//$平面$A_{1}EC_{1}$；
（2）求直线$AC_{1}$与平面$A_{1}EC_{1}$所成角的正弦值；
（3）求二面角$A-A_{1}C_{1}-E$的正弦值．
分析：（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面$A_{1}EC_{1}$的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明；
（2）利用（1）中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；
（3）利用待定系数法求出平面$AA_{1}C_{1}$的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．
（1）证明：以点$A$为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则$A_{1}(0$，0，$2)$，$E(2$，1，$0)$，$C_{1}(2$，2，$2)$，
故$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=(2,2,0),\overrightarrow{E{C}_{1}}=(0,1,2)$，
设平面$A_{1}EC_{1}$的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{E{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\ {y+2z=0}\end{array}\right.$，
令$z=1$，则$x=2$，$y=-2$，故$\overrightarrow{n}=(2,-2,1)$，
又$F(1$，2，$0)$，$D_{1}(0$，2，$2)$，
所以$\overrightarrow{F{D}_{1}}=(-1,0,2)$，
则$\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{F{D}_{1}}=0$，又$D_{1}F\not\subset$平面$A_{1}EC$，
故$D_{1}F//$平面$A_{1}EC_{1}$；
（2）解：由（1）可知，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=(2,2,2)$，
则$\vert \cos <\overrightarrow{n},\overrightarrow{A{C}_{1}}>\vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{A{C}_{1}}\vert }{\vert \overrightarrow{n}\vert \vert \overrightarrow{A{C}_{1}}\vert }=\dfrac{2}{3\times 2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$，
故直线$AC_{1}$与平面$A_{1}EC_{1}$所成角的正弦值为$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$；
（3）解：由（1）可知，$\overrightarrow{A{A}_{1}}=(0,0,2)$，
设平面$AA_{1}C_{1}$的法向量为$\overrightarrow{m}=(a,b,c)$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\\ {\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\ {a+b=0}\end{array}\right.$，
令$a=1$，则$b=-1$，故$\overrightarrow{m}=(1,-1,0)$，
所以$\vert \cos <\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>\vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{n}\vert }{\vert \overrightarrow{m}\vert \vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{4}{3\times \sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，
故二面角$A-A_{1}C_{1}-E$的正弦值为$\sqrt{1-(\dfrac{2\sqrt{2}}{3})^{2}}=\dfrac{1}{3}$．
点评：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
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