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2021年高考数学天津17<-->2021年高考数学天津19
18．（15分）已知椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$的右焦点为$F$，上顶点为$B$，离心率为$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，且$\vert BF\vert =\sqrt{5}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线$l$与椭圆有唯一的公共点$M$，与$y$轴的正半轴交于点$N$，过$N$与$BF$垂直的直线交$x$轴于点$P$．若$MP//BF$，求直线$l$的方程．
分析：（1）由离心率$e=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\vert BF\vert =\sqrt{5}$，列方程组，解得$a$，$b$，$c$，即可得出答案．
（2）设$M(x_{0}$，$y_{0})$，则切线$MN$的方程为$\dfrac{{x}_{0}x}{5}+y_{0}y=1$，令$x=0$，得$N$点的坐标，由$PN\bot BF$，推出$ k_{NP}=2$，设$P(x_{1}$，$0)$，则$x_{1}=-\dfrac{1}{2{y}_{0}}$，由$MP//BF$，得$x_{0}=-2y_{0}-\dfrac{1}{2{y}_{0}}$，结合$\dfrac{{{x}_{0}}^{2}}{5}+y_{0}^{2}=1$，解得$y_{0}$，$x_{0}$，即可得出答案．
解：（1）因为离心率$e=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，$\vert BF\vert =\sqrt{5}$
所以$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{c}{a}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}}\\ {a=\sqrt{5}}\\ {{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\sqrt{5}$，$c=2$，$b=1$，
所以椭圆的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{5}+y^{2}=1$．
（2）
设$M(x_{0}$，$y_{0})$，
则切线$MN$的方程为$\dfrac{{x}_{0}x}{5}+y_{0}y=1$，
令$x=0$，得$y_{N}=\dfrac{1}{{y}_{0}}$，
因为$PN\bot BF$，
所以$k_{PN}\cdot k_{BF}=-1$，
所以$k_{PN}\cdot (-\dfrac{1}{2})=-1$，解得$k_{NP}=2$，
设$P(x_{1}$，$0)$，则$k_{NP}=\dfrac{\dfrac{1}{{y}_{0}}}{0-{x}_{1}}=2$，即$x_{1}=-\dfrac{1}{2{y}_{0}}$，
因为$MP//BF$，
所以$k_{MP}=k_{BF}$，
所以$\dfrac{{y}_{0}}{{x}_{0}+\dfrac{1}{2{y}_{0}}}=-\dfrac{1}{2}$，即$-2y_{0}=x_{0}+\dfrac{1}{2{y}_{0}}$，
所以$x_{0}=-2y_{0}-\dfrac{1}{2{y}_{0}}$，
又因为$\dfrac{{{x}_{0}}^{2}}{5}+y_{0}^{2}=1$，
所以$\dfrac{4{{y}_{0}}^{2}}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{20{{y}_{0}}^{2}}+y_{0}^{2}=1$，
解得$y_{0}=\pm \dfrac{\sqrt{6}}{6}$，
因为$y_{N}>0$，
所以$y_{0}>0$，
所以$y_{0}=\dfrac{\sqrt{6}}{6}$，$x_{0}=-\dfrac{\sqrt{6}}{3}-\dfrac{3}{\sqrt{6}}=-\dfrac{5\sqrt{6}}{6}$，
所以$\dfrac{-\dfrac{5\sqrt{6}}{6}x}{5}+\dfrac{\sqrt{6}}{6}y=1$，即$x-y+\sqrt{6}=0$．
点评：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
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