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2021年高考数学天津15<-->2021年高考数学天津17
16．（14分）在$\Delta ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$．
（1）求$a$的值；
（2）求$\cos C$的值；
（3）求$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})$的值．
分析：（1）由题意利用正弦定理，求得$a$的值．
（2）由题意利用余弦定理计算求得结果．
（3）先来用二倍角公式求得$2C$的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})$的值．
解：（1）$\because \Delta ABC$中，$\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$，$\therefore a:b:c=2:1:\sqrt{2}$，
$\because b=\sqrt{2}$，$\therefore a=2b=2\sqrt{2}$，$c=\sqrt{2}b=2$．
（2）$\Delta ABC$中，由余弦定理可得$\cos C=\dfrac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}=\dfrac{8+2-4}{2\times 2\sqrt{2}\times \sqrt{2}}=\dfrac{3}{4}$．
（3）由（2）可得$\sin C=\sqrt{{1-\cos }^{2}C}=\dfrac{\sqrt{7}}{4}$，
$\therefore \sin 2C=2\sin C\cos C=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$，$\cos 2C=2\cos ^{2}C-1=\dfrac{1}{8}$，
$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})=\sin 2C\cos \dfrac{\pi }{6}-\cos 2C\sin \dfrac{\pi }{6}=\dfrac{3\sqrt{21}-1}{16}$．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
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