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2021年高考数学上海7<-->2021年高考数学上海9
8．（5分）已知$\{a_{n}\}$为无穷等比数列，$a_{1}=3$，$a_{n}$的各项和为9，$b_{n}=a_{2n}$，则数列$\{b_{n}\}$的各项和为____．
分析：设$\{a_{n}\}$的公比为$q$，由无穷递缩等比数列的求和公式，解方程可得$q$，进而得到$a_{n}$，$b_{n}$，求得数列$\{b_{n}\}$的首项和公比，再由无穷递缩等比数列的求和公式，可得所求和．
解：设$\{a_{n}\}$的公比为$q$，
由$a_{1}=3$，$a_{n}$的各项和为9，可得$\dfrac{3}{1-q}=9$，
解得$q=\dfrac{2}{3}$，
所以$a_{n}=3\times (\dfrac{2}{3})^{n-1}$，
$b_{n}=a_{2n}=3\times (\dfrac{2}{3})^{2n-1}$，
可得数列$\{b_{n}\}$是首项为2，公比为$\dfrac{4}{9}$的等比数列，
则数列$\{b_{n}\}$的各项和为$\dfrac{2}{1-\dfrac{4}{9}}=\dfrac{18}{5}$．
故答案为：$\dfrac{18}{5}$．
点评：本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
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