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2021年高考数学上海8<-->2021年高考数学上海10
9．（5分）已知圆柱的底面圆半径为1，高为2，$AB$为上底面圆的一条直径，$C$是下底面圆周上的一个动点，则$ABC$的面积的取值范围为 ____．
分析：上顶面圆心记为$O$，下底面圆心记为$O'$，连结$OC$，过点$C$作$CM\bot AB$，垂足为点$M$，由于$AB$为定值，则$S_{\Delta ABC}$的大小随着$CM$的长短变化而变化，
分别求解$CM$的最大值和最小值，即可得到答案．
解：如图1，上底面圆心记为$O$，下底面圆心记为$O'$，
连结$OC$，过点$C$作$CM\bot AB$，垂足为点$M$，
则${S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\times AB\times CM$，
根据题意，$AB$为定值2，所以$S_{\Delta ABC}$的大小随着$CM$的长短变化而变化，
如图2所示，当点$M$与点$O$重合时，$CM=OC=\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{5}$，
此时$S_{\Delta ABC}$取得最大值为$\dfrac{1}{2}\times 2\times \sqrt{5}=\sqrt{5}$；
如图3所示，当点$M$与点$B$重合，$CM$取最小值2，
此时$S_{\Delta ABC}$取得最小值为$\dfrac{1}{2}\times 2\times 2=2$．
综上所述，$S_{\Delta ABC}$的取值范围为$[2,\sqrt{5}]$．
故答案为：$[2,\sqrt{5}]$．
点评：本题考查了空间中的最值问题，将三角形面积的最值问题转化为求解线段$CM$的最值问题进行求解是解题的关键，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．
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