2020年高考数学新高考Ⅱ-18

（12分）已知公比大于1的等比数列

$\{a_{n}\}$ 满足

$a_{2}+a_{4}=20$ ，

$a_{3}=8$ ．
（1）求

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）求

$a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+\ldots +(-1)^{n-1}a_{n}a_{n+1}$ ．
分析：（1）根据题意，列方程组

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+{a}_{4}=20}\\ {{a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$ ，解得

$a_{1}$ 和

$q$ ，然后求出

$\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）根据条件，可知

$a_{1}a_{2}$ ，

$-a_{2}a_{3}$ ，

$\ldots (-1)^{n-1}a_{n}a_{n+1}$ ，是以

$2^{3}$ 为首项，

$-2^{2}$ 为公比的等比数列，由等比数列求和公式，即可得出答案．
解答：解：（1）设等比数列

$\{a_{n}\}$ 的公比为

$q(q>1)$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}+{a}_{4}={a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\\ {{a}_{3}={a}_{1}{q}^{2}=8}\end{array}\right.$ ，

$\because q>1$ ，

$\therefore$

$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\ {q=2}\end{array}\right.$ ，

$\therefore$

${a}_{n}=2\centerdot {2}^{n-1}={2}^{n}$ ．
（2）

$a_{1}a_{2}-a_{2}a_{3}+\ldots +(-1)^{n-1}a_{n}a_{n+1}$

$=2^{3}-2^{5}+2^{7}-2^{9}+\ldots +(-1)^{n-1}\centerdot 2^{2n+1}$ ，

$=\dfrac{{2}^{3}[1-(-{2}^{2})^{n}]}{1-({-2}^{2})}=\dfrac{8}{5}-(-1)^{n}\dfrac{{2}^{2n+3}}{5}$ ．
点评：本题考查等比数列的通项公式，前

$n$ 项求和公式，考查转化思想和方程思想，属于基础题．

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数列

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