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2020年高考数学新高考Ⅱ-17

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（10分）在①

$ac=\sqrt{3}$ ，②

$c\sin A=3$ ，③

$c=\sqrt{3}b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求

$c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在

$\Delta ABC$ ，它的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，且

$\sin A=\sqrt{3}\sin B$ ，

$C=\dfrac{\pi }{6}$ ，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
分析：①根据题意，结合正弦定理，可得

$b=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ ，

$c=\dfrac{\sqrt{3}}{a}$ ，结合

$C=\dfrac{\pi }{6}$ ，运用余弦定理

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ ，即可求得

$c=1$ ．
②根据题意，

$\Delta ABC$ 中，

$c\sin A=a\sin C$ ，即可求得

$a=6$ ，进而得到

$b=2\sqrt{3}$ ．运用余弦定理

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ ，即可求得

$c=2\sqrt{3}$ ．
③根据

$c=\sqrt{3}b$ ，

$\sin A=\sqrt{3}\sin B$ 即

$a=\sqrt{3}b$ ，可列式求得

$\cos C=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ，与已知条件

$C=\dfrac{\pi }{6}$ 矛盾，所以问题中的三角形不存在．
解答：解：①

$ac=\sqrt{3}$ ．

$\Delta ABC$ 中，

$\sin A=\sqrt{3}\sin B$ ，即

$b=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$ ，

$ac=\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$c=\dfrac{\sqrt{3}}{a}$ ，

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{a}^{2}+\dfrac{{a}^{2}}{3}-\dfrac{3}{{a}^{2}}}{\dfrac{2\sqrt{3}{a}^{2}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore a=\sqrt{3}$ ，

$b=1$ ，

$c=1$ ．
②

$c\sin A=3$ ．

$\Delta ABC$ 中，

$c\sin A=a\sin C=a\sin \dfrac{\pi }{6}=3$ ，

$\therefore a=6$ ．

$\because \sin A=\sqrt{3}\sin B$ ，即

$a=\sqrt{3}b$ ，

$\therefore$

$b=2\sqrt{3}$ ．

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{36+12-{c}^{2}}{2\times 6\times 2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore$

$c=2\sqrt{3}$ ．
③

$c=\sqrt{3}b$ ．

$\because \sin A=\sqrt{3}\sin B$ ，即

$a=\sqrt{3}b$ ，
又

$\because c=\sqrt{3}b$ ，

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\ne \cos \dfrac{\pi }{6}$ ，
与已知条件

$C=\dfrac{\pi }{6}$ 相矛盾，所以问题中的三角形不存在．
点评：本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．

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