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2020年高考数学新高考Ⅱ-16<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-18
（10分）在①$ac=\sqrt{3}$，②$c\sin A=3$，③$c=\sqrt{3}b$这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求$c$的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在$\Delta ABC$，它的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，且$\sin A=\sqrt{3}\sin B$，$C=\dfrac{\pi }{6}$，_______？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
分析：①根据题意，结合正弦定理，可得$b=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，$c=\dfrac{\sqrt{3}}{a}$，结合$C=\dfrac{\pi }{6}$，运用余弦定理$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即可求得$c=1$．
②根据题意，$\Delta ABC$中，$c\sin A=a\sin C$，即可求得$a=6$，进而得到$b=2\sqrt{3}$．运用余弦定理$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，即可求得$c=2\sqrt{3}$．
③根据$c=\sqrt{3}b$，$\sin A=\sqrt{3}\sin B$即$a=\sqrt{3}b$，可列式求得$\cos C=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，与已知条件$C=\dfrac{\pi }{6}$矛盾，所以问题中的三角形不存在．
解答：解：①$ac=\sqrt{3}$．
$\Delta ABC$中，$\sin A=\sqrt{3}\sin B$，即$b=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，
$ac=\sqrt{3}$，$\therefore$$c=\dfrac{\sqrt{3}}{a}$，
$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{a}^{2}+\dfrac{{a}^{2}}{3}-\dfrac{3}{{a}^{2}}}{\dfrac{2\sqrt{3}{a}^{2}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore a=\sqrt{3}$，$b=1$，$c=1$．
②$c\sin A=3$．
$\Delta ABC$中，$c\sin A=a\sin C=a\sin \dfrac{\pi }{6}=3$，$\therefore a=6$．
$\because \sin A=\sqrt{3}\sin B$，即$a=\sqrt{3}b$，$\therefore$$b=2\sqrt{3}$．
$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{36+12-{c}^{2}}{2\times 6\times 2\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore$$c=2\sqrt{3}$．
③$c=\sqrt{3}b$．
$\because \sin A=\sqrt{3}\sin B$，即$a=\sqrt{3}b$，
又$\because c=\sqrt{3}b$，
$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}\ne \cos \dfrac{\pi }{6}$，
与已知条件$C=\dfrac{\pi }{6}$相矛盾，所以问题中的三角形不存在．
点评：本题主要考查解三角形中的正弦定理与余弦定理，熟练掌握余弦定理并灵活的应用是解本题的关键．
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