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2020年高考数学新高考Ⅱ-15<-->2020年高考数学新高考Ⅱ-17
某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．$O$为圆孔及轮廓圆弧$AB$所在圆的圆心，$A$是圆弧$AB$与直线$AG$的切点，$B$是圆弧$AB$与直线$BC$的切点，四边形$DEFG$为矩形，$BC\bot DG$，垂足为$C$，$\tan \angle ODC=\dfrac{3}{5}$，$BH//DG$，$EF=12cm$，$DE=2cm$，$A$到直线$DE$和$EF$的距离均为$7cm$，圆孔半径为$1cm$，则图中阴影部分的面积为 ____ $cm^{2}$．
分析：设大圆的半径为$R$，利用已知条件求出$OQ$、$OD$的长，利用$\tan \angle ODC=\dfrac{3}{5}$求出大圆的半径$R$，再根据图中线段关系得出$\Delta AOH$为直角三角形，最后求解图中阴影部分的面积即可．
解答：
作$AM$垂直于$EF$，交$OH$、$DG$于$S$、$N$，垂足为$M$，过点$O$作$OQ$垂直于$DQ$，垂足为$Q$，
$\because A$到直线$DE$和$EF$的距离均为$7cm$，$\therefore EM=AM=7$，
又$\because EF=12$，$MN=DE=2$，
$\therefore NG=MF=12-7=5$，$AN=AM-NM=7-2=5$，
$\therefore \angle AGD=45^\circ$，$\because BH//DG$，$\therefore \angle AHO=45^\circ$，
由于$AG$是圆弧的切线，
$\therefore AG\bot OA$，$\angle AOH=45^\circ$，
设大圆的半径为$R$，则$AS=OS=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$，
$OQ=SN=5-\dfrac{R}{\sqrt{2}}$，$DQ=DN-QN=7-\dfrac{R}{\sqrt{2}}$，
$\because \tan \angle ODC=\dfrac{3}{5}$，$\therefore$$\dfrac{5-\dfrac{R}{\sqrt{2}}}{7-\dfrac{R}{\sqrt{2}}}=\dfrac{3}{5}$，解得$R=2\sqrt{2}$，
图中阴影部分面积分为扇形$AOB$和直角$\Delta AOH$的面积减去小半圆的面积，
所以${{S}_{}}=\dfrac{135}{360}\times \pi \times {{(2\sqrt{2})}^{2}}+\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\times \pi \times 1=\dfrac{5}{2}\pi +4$．
故答案为：$\dfrac{5}{2}\pi +4$．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，三角形的解法，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
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