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2020年高考数学新高考Ⅱ-8

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若定义在

$R$ 的奇函数

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 单调递减，且

$f(2)=0$ ，则满足

$xf(x-1)\geqslant 0$ 的

$x$ 的取值范围是(　　)
A．

$[-1$ ，

$1]\cup{[}3$ ，

$+\infty )$
B．

$[-3$ ，

$-1]\cup{[}0$ ，

$1]$
C．

$[-1$ ，

$0]\cup{[}1$ ，

$+\infty )$
D．

$[-1$ ，

$0]\cup{[}1$ ，

$3]$
分析：根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
解答：

$\because$ 定义在

$R$ 的奇函数

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 单调递减，且

$f(2)=0$ ，

$f(x)$ 的大致图象如图：

$\therefore f(x)$ 在

$(0,+\infty )$ 上单调递减，且

$f(-2)=0$ ；
故

$f(-1)<0$ ；
当

$x=0$ 时，不等式

$xf(x-1)\geqslant 0$ 成立，
当

$x=1$ 时，不等式

$xf(x-1)\geqslant 0$ 成立，
当

$x-1=2$ 或

$x-1=-2$ 时，即

$x=3$ 或

$x=-1$ 时，不等式

$xf(x-1)\geqslant 0$ 成立，
当

$x>0$ 时，不等式

$xf(x-1)\geqslant 0$ 等价为

$f(x-1)\geqslant 0$ ，
此时

$\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\ {0<x-1\leqslant 2}\end{array}\right.$ ，此时

$1<x\leqslant 3$ ，
当

$x<0$ 时，不等式

$xf(x-1)\geqslant 0$ 等价为

$f(x-1)\leqslant 0$ ，
即

$\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\ {-2\leqslant x-1<0}\end{array}\right.$ ，得

$-1\leqslant x<0$ ，
综上

$-1\leqslant x\leqslant 0$ 或

$1\leqslant x\leqslant 3$ ，
即实数

$x$ 的取值范围是

$[-1，0]\cup[1，3]$ ，
故选：D．
点评：本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性的性质，作出函数

$f(x)$ 的草图，是解决本题的关键．难度中等．

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