2020年高考数学新高考Ⅰ-21<-->返回列表
已知椭圆：（）的离心率为，且过点。
（1）求的方程。
（2）点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值。
（1）由题意得，
解得，
所以椭圆的方程为。
（2）证明：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得到，
所以
，
所以。
设，，
则由韦达定理可得，，
。
因为，
所以，。
所以，
将其视为关于的一元二次方程，
则
所以或，
即或，
所以直线的方程为或，
若直线的方程为，则该直线过定点，
不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，即，
所以直线过定点。
如图，，，
取的中点，
因为直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
所以在中，，
所以，此时。
②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
在椭圆中，令得到，
所以，，
当时，直线过定点，舍去。
当，直线的方程为，
此时直线仍然过点，
仿照①中后半部分的分析仍然可以得到：当的坐标为时，。
综上所述，存在定点，使得为定值。
本题主要考查圆锥曲线和直线与圆锥曲线。
（1）根据题意列出关于，，的方程组，解方程组得到答案。
（2）①当直线的斜率存在时，设方程为，将直线方程与椭圆方程联立，设，，根据韦达定理得到和的表达式。然后求出和的表达式，，，由可知，代入得到关于的一元二次方程。进而得到的表达式，得到直线过定点，进而得到定点和的值。
②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程求得交点坐标，进而代入，得到关于的一元二次方程，解得或。当时，直线过定点，舍去；当，直线仍然过点，与①相同，进而求出定点和的值。
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