2020年高考数学北京20<-->返回列表
已知是无穷数列，给出两个性质：
①对于中任意两项，（），在中都存在一项，使得。
②对于中任意一项（），在中都存在两项，（），使得。
（1）若（，，），判断数列是否满足性质①，说明理由。
（2）若（，，），判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由。
（3）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列。
（1）若（，，）满足性质①，
则，，，
由得，
因为，，，
所以当，时，，与矛盾，
故数列（，，）不满足性质①。
（2）若（，，）同时满足性质①和性质②，
对于性质①：，
即，
对于任意，（），均存在满足，
所以（，，）满足性质①；
对于性质②：时，
取，，
此时，，
有，
所以（，，）满足性质②。
综上：（，，）同时满足性质①和性质②。
（3）若，令；
若，令；
则是首项为，单调递增，且同时满足性质①和性质②的数列，
令，下证是公比为的等比数列，
先证明，，
当，时命题显然成立；
假设当（）时命题成立，，
由性质①，在数列中，
即时命题也成立，
下用反证法证明，
设，
即是数列中不是的整数次幂的最小的项，
显然有，
由性质②，设（），
则，
由的最小性质可知，，，
则，矛盾，
综上，数列为首项为，公比为的等比数列，
所以数列是等比数列。
本题主要考查数列综合。
（1）假设（，，）满足性质①，则有，而当，时，，与矛盾，所以不满足性质①。
（2）通过证明对于任意，（），均存在满足，即满足性质①，证明，时有，即满足性质②，得证。
（3）首先将数列进行标准化：若，令；若，令。可以验证出数列是首项为的递增数列，且根据满足性质①②可以验证出数列也满足性质①②。记，再去证明两个集合和互相包含。在证明时，可以使用数学归纳法，在归纳假设的前提下利用数列满足性质①去证明当时命题仍然成立。在证明时，考虑使用反证法。定义，根据的最小性质以及性质②可以得到存在，使得，整理后并放缩可以得到，所以得到、，所以得到，矛盾，所以。这样便证明了，从而得到数列为首项为，公比为的等比数列，从而得到数列是等比数列。
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