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2020年高考数学北京21

  2020-11-23 21:54:47  

(2020北京卷计算题)

已知是无穷数列,给出两个性质:

①对于中任意两项),在中都存在一项,使得

②对于中任意一项),在中都存在两项),使得

(1)若),判断数列是否满足性质①,说明理由。

(2)若),判断数列是否同时满足性质①和性质②,说明理由。

(3)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:为等比数列。

【出处】
2020年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷):数学第21题
【答案】

(1)若)满足性质①,

因为

所以当时,,与矛盾,

故数列)不满足性质①。

(2)若)同时满足性质①和性质②,

对于性质①:

对于任意),均存在满足

所以)满足性质①;

对于性质②:时,

此时

所以)满足性质②。

综上:)同时满足性质①和性质②。

(3)若,令

,令

是首项为,单调递增,且同时满足性质①和性质②的数列,

,下证是公比为的等比数列,

先证明

时命题显然成立;

假设当)时命题成立,

由性质①,在数列中,

时命题也成立,

下用反证法证明

是数列中不是的整数次幂的最小的项,

显然有

由性质②,设),

的最小性质可知,

,矛盾,

综上,数列为首项为,公比为的等比数列,

所以数列是等比数列。

【解析】

本题主要考查数列综合。

(1)假设)满足性质①,则有,而当时,,与矛盾,所以不满足性质①。

(2)通过证明对于任意),均存在满足,即满足性质①,证明时有,即满足性质②,得证。

(3)首先将数列进行标准化:若,令;若,令。可以验证出数列是首项为的递增数列,且根据满足性质①②可以验证出数列也满足性质①②。记,再去证明两个集合互相包含。在证明时,可以使用数学归纳法,在归纳假设的前提下利用数列满足性质①去证明当时命题仍然成立。在证明时,考虑使用反证法。定义,根据的最小性质以及性质②可以得到存在使得,整理后并放缩可以得到,所以得到,所以得到,矛盾,所以。这样便证明了,从而得到数列为首项为,公比为的等比数列,从而得到数列是等比数列。

【考点】
数列综合创新数列问题


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