2019年高考数学天津--理16<-->2019年高考数学天津--理18
（本小题满分13分）
如图，平面，，，，，。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长。
建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系，
如下图所示，可得，，，
，。
设（），则。
（Ⅰ）由题意得是平面的一个法向量，
又，可得，
又因为直线平面，
所以平面。
（Ⅱ）由题意得，，，
设为平面的法向量，则
即不妨令，可得为平面的一个法向量，
因此
，
所以直线与平面所成角的正弦值为。
（Ⅲ）设为平面的法向量，则
即不妨令，可得，
由题意有，
解得，经检验，符合题意，
所以线段的长为。
本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识及空间向量的应用。
（Ⅰ）因为是平面的一个法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面。
（Ⅱ）由题意得，，，设为平面的法向量，则代入计算可得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为。
（Ⅲ）设为平面的法向量，则代入计算可得，由题意有=，解得，经检验，符合题意，所以线段的长为。
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