2019年高考数学江苏19<-->2019年高考数学江苏21
（本小题满分16分）定义首项为且公比为正数的等比数列为“数列”。
（1）已知等比数列（）满足：，，求证：数列为“数列”；
（2）已知数列（）满足：，，其中为数列的前项和。
①求数列的通项公式；
②设为正整数，若存在“数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值。
（1）已知，，
又因为数列为等比数列，则，设公比为（），
所以，即，则有，
由可得，
即，解得，是正数，
所以数列是首项为公比为正数的等比数列，
即证得数列为“数列”。
（2）①已知，
由可知，
当时，有，则，
可变形为，
则，
两式相减得，
所以，
即，
令，则，
而，
所以数列为首项，公差为的等差数列，
，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
所以数列的通项公式为。
②由①可知，。
因为存在“数列”满足题目条件，
则数列是以为首项且公比为正数的等比数列，
设公比为，，则，
所以问题转化为存在，对任意，
都有恒成立。
ⅰ）当时，，与题目要求不合，舍去，
ⅱ）当时，，即，
ⅲ）当时，当时，恒成立，
当，，，，时，将上式以为底取对数，
分离变量，即，
设，，
当时，，
当，，单调递增，
当，，单调递减，
所以当，函数取最大值，
又因为，
当，，
则，当，，
所以当，函数单调递减，
所以若，，
当，对于，可取任意正整数，
对于，越小的取值越大，
所以当，可取最大值，
又因为，，
所以的最大值为。
本题主要考查数列的递推与通项、数列综合以及导数在研究函数中的应用。
（1）设出数列的公比，代入题中条件，可解出、的值，再结合定义即可。
（2）①将，代入得，对题中条件变形得，则有，相减整理可得，令，易证得数列为首项为公差为的等差数列，即，整理可得数列的通项公式为。
②由①可知，，则问题转化为存在，对任意，都有恒成立，分、、三种情况讨论，当时，当时，恒成立，当，，，，时，将上式以为底取对数，则，分离变量，即，设，，，研究这两个函数的单调性和极值，求出的最大值。
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