2019年高考数学江苏18<-->2019年高考数学江苏20
（本小题满分16分）设函数，，，，为的导函数。
（1）若，，求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：。
（1）若，则，
又因为，所以，
所以。
（2）若，，则，
令，则或，
，
因为函数，的零点均在集合中，
所以，所以，，
则此时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为。
（3）当，，时，
有，
①当时，，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的极大值为，此时满足；
②当时，
则。
因为，，
而，
所以存在，，使得，
则的极大值为。，
因为，
所以，
所以
。
不妨令，则，
因为，所以，
则
不妨令，，
则在上恒成立，所以在上单调递减，
综上，恒成立。
本题主要考查导数在研究函数中的应用。
（1）将代入可得，再结合即可计算出。
（2）由题知，，即可得，即可得函数，的所有零点，结合因为函数，的零点均在集合中可很快试出，，代回，对其进行求导得出其单调性，再求其极小值即可。
（3）由题意可得，当时，对其进行求导，得出单调性，进而即可求得，满足；当时，可得，根据二次函数的图象与性质和零点存在定理可得，存在，，使得，则的极大值为，由可得，代入解析式可得，令，整理后得，令，对其求导后根据单调性可得，综上得证。
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