2015年高考数学湖南--理21<-->2015年高考数学湖南--理23
（本小题满分13分）
已知抛物线：的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，与的公共弦的长为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向；
（ⅰ）若，求直线的斜率；
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形。
（1）由：知其焦点的坐标为，因为也是椭圆的一个焦点，所以①，又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，所以②，联立①，②的，，故的方程为。
（2）如图，设，，，。
（i）因与同向，且，所以，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为。由，得，而，是这个方程的两根，所以，，④
由，得，而，是这个方程的两根，所以将④，⑤代入③，得，即，所以，解得，即直线的斜率为。
（ii）由得，所以在点处的切线方程为，即，令得，即，所以，而，于是，因此是锐角，从而是钝角。直线绕点旋转时，总是钝角三角形。
本题主要考查椭圆与抛物线的性质、直线与方程。
（1）由抛物线表达式及其性质求出焦点的坐标，也是椭圆的一个焦点，所以；再求出与的公共点坐标，可得，联立方程组即可得出椭圆的表达式。
（2）将、、、坐标设出来，根据已知条件得，将、、、坐标带入得……（*）；设直线方程为，分别与抛物线、椭圆方程联立得、、、之间的关系式，带入（*）式化简即可得出直线的斜率。
（3）由得，求出的切线方程，令即可得，所以根据得出为钝角，从而得出为钝角，则直线绕点旋转时，总是钝角三角形。
全网搜索"2015年高考数学湖南--理22"相关
