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2015年高考数学湖南--理22

  2016-10-28 18:49:44  

(2015湖南卷计算题)

(本小题满分13分)

已知抛物线的焦点也是椭圆)的一个焦点,的公共弦的长为

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)过点的直线相交于两点,与相交于两点,且同向;

(ⅰ)若,求直线的斜率;

(ⅱ)设在点处的切线与轴的交点为,证明:直线绕点旋转时,总是钝角三角形。

【出处】
2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷):理数第22题
【答案】

(1)由知其焦点的坐标为,因为也是椭圆的一个焦点,所以①,又的公共弦长为都关于轴对称,且的方程为,由此易知的公共点的坐标为,所以②,联立①,②的,故的方程为

(2)如图,设

(i)因同向,且,所以,从而,即,于是③,设直线的斜率为,则的方程为。由,得,而是这个方程的两根,所以,④

,得,而是这个方程的两根,所以将④,⑤代入③,得,即,所以,解得,即直线的斜率为

(ii)由,所以在点处的切线方程为,即,令,即,所以,而,于是,因此是锐角,从而是钝角。直线绕点旋转时,总是钝角三角形。

【解析】

本题主要考查椭圆与抛物线的性质、直线与方程。

(1)由抛物线表达式及其性质求出焦点的坐标,也是椭圆的一个焦点,所以;再求出的公共点坐标,可得,联立方程组即可得出椭圆的表达式。

(2)将坐标设出来,根据已知条件得,将坐标带入得……(*);设直线方程为,分别与抛物线、椭圆方程联立得之间的关系式,带入(*)式化简即可得出直线的斜率。

(3)由,求出的切线方程,令即可得,所以根据得出为钝角,从而得出为钝角,则直线绕点旋转时,总是钝角三角形。

【考点】
圆锥曲线直线与圆锥曲线直线与方程


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