2015年高考数学湖南--理22<-->返回列表
（本小题满分13分）
已知，函数（）。记为的从小到大的第（）个极值点。证明：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）若，则对一切，恒成立。
（1），其中，，令，由得，即，，对，若，即，则；若，即，则。
因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以。此时，，易知，而是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列。
（2）由（1）知，，于是对一切，恒成立，即恒成立，等价于（①）恒成立，（因为）。
设，则，令得，当时，，所以在区间上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增。从而当时，函数取得最小值，因此，要使（①）式恒成立，只需，即只需，从而当时，由且知，，于是，且当时，。因此对一切，，所以，故（①）式亦恒成立。
综上所述，若，则对一切，恒成立。
本题主要考查等比数列。
（1）先求导，然后确定取值范围，再判断函数的单调性，求出极值，从而得出，因此求得，再求得公比，即可得出是首项为，公比为的等比数列。
（2）由（1）先求得，然后对对一切，恒成立，可得出①，设，对其求导并讨论单调性，得出最小值，即若满足①，则，即满足，再讨论时同样成立，则可得若，则对一切，恒成立。
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