<
,求a的取值范围.2004年
解答题
17、(本题满分12分)
已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a－2－i, 其中i为虚数单位,
a∈R,
若<,求a的取值范围.
18、(本题满分12分)
某单位用木料制作如图所示的框架,
框架的下部是边长分别为
x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2.
问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?
19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
记函数f(x)=
的定义域为A,
g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)
的定义域为B.
(1) 求A；
(2)
若B
A,
求实数a的取值范围.
20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分
如图,
直线y=
x与抛物线y=
x2－4交于A、B两点,
线段AB的垂直
平分线与直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上
的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.
(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
(1) 证明：P-ABC为正四面体；
(2)
若PD=PA,
求二面角D-BC-A的
大小；(结果用反三角函数值表示)
(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是
否存在体积为V且各棱长均相等的直
平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC
有相同的棱长和? 若存在,请具体构造
出这样的一个直平行六面体,并给出证
明；若不存在,请说明理由.
22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分
设P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点,
且a1=
2,
a2=
2,
…, an=
2构成了一个公差为d(d≠0)
的等差数列,
其中O是坐标原点. 记Sn=a1+a2+…+an.
(1)
若C的方程为
－y2=1,n=3.
点P1(3,0)
及S3=162,
求点P3的坐标；
(只需写出一个)
(2) 若C的方程为y2=2px(p≠0). 点P1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：
(x1+p)2, (x2+p)2, …,(xn+p)2成等差数列；
(3)
若C的方程为
(a>b>0).
点P1(a,0),
对于给定的自然数n,
当
公差d变化时, 求Sn的最小值.
2005年
解答题
17.（本题满分12分）已知长方体
中，M.N分别是
和BC的中点，
AB=4，AD=2，
与平面ABCD所成角的大小为
，求异面直线与MN所成角
的大小
（结果用反三角函数值表示）
18.（本题满分12分）在复数范围内解方程
（
为虚数单位）
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
已知函数
的图象与
轴分别相交于点A.B，
（
分别是
与
轴正半轴同方向的单位向量），函数
（1）求
的值；
（2）当
满足
时，求函数
的最小值
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计
在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新
建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到那一年底，
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少
于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
21.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分6分
已知抛物线
的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4.且位于
轴上
方的点，A到抛物线准线的距离等于5过A作AB垂直于
轴，垂足为B，OB的中点为M
（1）求抛物线方程；
（2）过M作
，垂足为N，求点N的坐标；
（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当
是
轴
上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，
第3小题满分6分
对定义域是
.
的函数
.
，
规定：函数
（1）若函数
，
，写出函数
的解析式；
（2）求问题（1）中函数
的值域；
（3）若
，其中
是常数，且
，请设计一个定义域为R的
函数
，及一个的值，使得
，并予以证明
2006
解答题
(17)（本题满分12分）
已知α是第一象限的角，且cosα=
的值.
18．（本题满分12分）
如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘
渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南
偏西30
，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向
沿直线前往B处救援（角度精确到1）？
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分. 第2小题满分9分.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°.AB=BC=1，
（1）求异面直线B1C1与AC所成角的大小；
（2）若直线A1C与平面ABC所成角为45°.求三棱柱A1-ABC的结果.
20(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.
设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，an+Sn=4096.
(1)求数列{an}的通项公式：
(2)设数列{log2an}的前n项和为Tn.对数列{Tn}，从第几项起Tn＜-509？
21.(本题满分16分)本题共有3个小题，第4小题满分4分.第2小题满分5分，
第3小题满分7分.
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
F（-
，0）.且右顶点为D（2，0），设点A的坐标是（1，
）.
(1)求该椭圆的标准方程.
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；
(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C.求△ABC面积的最大值.
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，
第3小题满分8分.
已知函数y=x＋
有如下性质，如果常数a＞0，那么该函数在
］上是
减函数，在［
，+∞）上是增函数.
（1）如果函数y＝x+
在（0，4］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数，
求实常数b的值；
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f（x）=x+
（1≤x≤2）的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g（x）=xn-
（c＞0）的单调性，并说明理由.
2007年
解答题
16．（本题满分12分）
在正四棱锥
中，
，直线
与平面
所成的角为
，求
正四棱锥
的体积
．
17．（本题满分14分）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，求的面积
．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到
670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%
（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．
（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；
（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年
的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持
在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产
量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精
确到0.1%）？
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知函数
，常数
．
（1）当
时，解不等式
；
（2）讨论函数
的奇偶性，并说明理由．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，
第3小题满分9分．
如果有穷数列
（
为正整数）满足条件
，
，…，
，即
（
），我们称其为“对称数列”．
例如，数列
与数列
都是“对称数列”．
（1）设
是7项的“对称数列”，其中
是等差数列，且
，
．
依次写出的每一项；
（2）设
是
项的“对称数列”，其中
是首项为
，公比为
的
等比数列，求
各项的和
；
（3）设
是
项的“对称数列”，其中
是首项为
，公差为
的
等差数列．求
前
项的和
．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，
第3小题满分9分．
我们把由半椭圆
与半椭圆
合成的曲线称作
“果圆”，其中
，
，
．
如图，设点
，
，
是相应椭圆的焦点，
，
和
，
是“果圆”
与
，
轴的
交点，
是线段
的中点．
（1）若
是边长为1的等边三角形，求该
“果圆”的方程；
（2）设
是“果圆”的半椭圆
上任意一点．求证：当
取得最小值时，
在点
或
处；
（3）若是“果圆”上任意一点，求
取得最小值时点的横坐标．
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