2004年

解答题

17．（本小题满分12分）

 解答

18．（本小题满分12分）

如图，在底面 是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=60⁰，PA=AC=a,

PB=PD=,点E是PD的中点.

（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值.

    解答

19．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的
    零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的
    零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机
    床加工的零件都是一等品的概率为.

（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

 解答

20．（本小题满分12分）

    已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，

a₁,2a₇,3a₄ 成等差数列.

（I）证明  12S₃,S₆,S₁₂-S₆成等比数列；

（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2.

解答

21．（本小题满分12分）

如图，已知曲线C₁：y=x³(x≥0)与曲线C₂:y=－2x³+3x(x≥0)交于O，A,

直线x=t(0<t<1)与曲线C₁,C₂分别交于B，D.

（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t);

（Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.

                         解答

22．（本小题满分14分）

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线

交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（I）设点P分有向线段所成的比为，证明:

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有

共同的切线，求圆C的方程.

                           解答

2005年

解答题

16．（本小题满分12分）

     已知数列为等差数列，且

     （Ⅰ）求数列的通项公式；

     （Ⅱ）证明

解答

17．（本小题满分12分）

已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，

求角A、B、C的大小.

解答

18．（本题满分12分）

　  如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，

    将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.

　　（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；

 （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.

       解答                               图1

19．（本小题满分14分）

     设，点P（，0）是函数的图象的一个

     公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线

  （Ⅰ）用表示a，b，c；

  （Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围

解答

20．（本小题满分14分）

某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界

3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.

   （Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

   （Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率

解答

21．（本小题满分14分）

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F1、F2，离心率为e.

直线l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公

共点，P是点F1关于直线l的对称点，设＝λ.

   （Ⅰ）证明：λ＝1－e2；

   （Ⅱ）若，△PF1F2的周长为6；写出椭圆C的方程；

   （Ⅱ）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形.

解答

2006

16．(本小题满分12分)

    已知·cosθ=1,θ∈(0，π)，求θ的值．

解答

17．(本小题满分12分)

    某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)．若安检不合格，

则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格

是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率

是0.8，计算(结果精确到0.01)：

    (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；

    (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改；

    (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率．

解答

18．(本小题满分14分)

    如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都为2，AB=4．

    (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

    (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；

    (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离．

      解答

19．(本小题满分14分)

    已知函数f(x)=ax³-3x²+1-.

    (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

    (Ⅱ)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，

求实数a的取值范围.

解答

20．(本小题满分14分)

    在m(m≥2)个不同数的排列p₁p₂…p_m中，若1≤i＜j≤m时p_i＞p_j (即前面某数大

于后面某数)，则称与构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆

序数．记排列(n+1)n(n-1)…321的逆序数为，如排列21的逆序数=1，排列321的逆

序数=3，排列4321的逆序数=6．

    (Ⅰ)求、，并写出的表达式；

(Ⅱ)令=,证明  2n＜++…+＜2n+3， n=1，2，…．

解答

21.（本小题满分14分）

已知椭圆C₁∶=1，抛物线C₂∶（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB

过椭圆C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求p、m的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)若P=且抛物线C₂的焦点在直线AB上，求m的值及AB的方程．

解答 

2007年

解答题

16．（本小题满分12分）

已知函数．求：

（I）函数的最小正周期；

（II）函数的单调增区间．

解答

17．（本小题满分12分）

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，

每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加

过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选

择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率．

解答

18．（本小题满分12分）

如图3，已知直二面角，，，，，，

直线和平面所成的角为．

（I）证明；

（II）求二面角的大小．

解答

19．（本小题满分13分）

已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，

点的坐标是．

（I）证明，为常数；

（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．

解答

20．（本小题满分13分）

设是数列（）的前项和，，且，，．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列（）中

的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项．

解答

21．（本小题满分13分）

已知函数在区间，内各有一个极值点．

（I）求的最大值；

（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过

函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧

进入另一侧），求函数的表达式．

解答