三、解答题
20.(本小题满分13分)
设是数列
(
)的前
项和,
,且
,
,
.
(I)证明:数列(
)是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列
(
)中
的所有项都是数列中的项,并指出
是数列
中的第几项.
解:(I)当时,由已知得
.
因为,所以
.
…………………………①
于是.
…………………………………………………②
由②-①得:.……………………………………………③
于是.……………………………………………………④
由④-③得:.…………………………………………………⑤
即数列(
)是常数数列.
(II)由①有,所以
.
由③有,所以
,
而⑤表明:数列和
分别是以
,
为首项,6为公差的等差数列.
所以,
,
.
由题设知,.当
为奇数时,
为奇数,而
为偶数,所以
不
是数列中的项,
只可能是数列
中的项.
若是数列
中的第
项,由
得
,取
,得
,
此时,由
,得
,
,从而
是数列
中的第
项.
(注:考生取满足,
的任一奇数,说明
是数列
中的
第项即可)
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