2004年

解答题

（17）（本小题满分12分）

已知6sin²α+sinαcosα－2cos²α=0，，求的值。

 解答

（18）（本小题满分12分）

如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁、B₁、C₁、D₁中，点E是棱BC的中点，

点F 是棱CD上的动点。

（Ⅰ）试确定点F的位置，使得D₁E⊥平面AB₁F；

（Ⅱ）当D₁E⊥平面AB₁F时，求二面角C₁―EF―A的大小

（结果用反三角函数值表示）。

                          解答

（19）（本小题满分12分）

如图，在Rt△ABC中，已知BC=a,若长为2 a的线段P  Q以点A为中点，

问与的夹角θ取何值时，的值最大？并求出这个最大值。

 　　　　　　　　　　　　　　解答

（20）（本小题满分12分）

直线：与双曲线C：的右支交于不同的两点A、B。

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？

若存在，求出的值。若不存在，说明理由。

　解答

（21）（本小题满分12分）

某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，

将造成400万元的损失。现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用。

单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防

措施后此突发事件不发生的概率分别是0.9和0.85。若预防方案允许甲、乙

两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少。

（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值。）

　解答

（22）（本小题满分14分）

已知，数列满足n=1，2，…。

（Ⅰ）已知数列极限存在且大于零，求A=(将A用表示)；

（Ⅱ）设…，证明：；

（Ⅲ）若对…，都成立，求的取值范围。

 　解答

2005年

解答题

17．（本小题满分12分）

  已知向量a=(，x+1)，b= (1-x，t)若函数=a·b在区间（-1，1）上

  是增函数，求t的取值范围

解答

18．（本小题满分12分）

在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值

解答

19．（本小题满分12分）

某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加

考试的机会，一量某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则

就一直考到第4次为止 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的

概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列

和的期望，并求李明在一所内领到驾照的概率

解答

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，

AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，

并求出N点到AB和AP的距离

解答

21．（本小题满分12分）

设A、B是椭圆上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的

垂直平分线与椭圆相交于C、D两点

 （Ⅰ）确定的取值范围，并求直线AB的方程；

 （Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由

解答

22．（本小题满分14分）

已知不等式，其中n为大于2的整数，表示

不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，

  （Ⅰ）证明：，；

  （Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；

  （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有

解答

2006

解答题

16．（本小题满分12分）

    设函数·（b+c）,其中向量a=(sinx,—cosx)，b=(sinx,—3cosx),

   c=(—cosx,sinx),x。

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；

   （Ⅱ）将函数y=f(x)的图像按向量d平移，使平移后得到的图象关于坐标

   原点成中心对称，求长度最小的d。

 解答

17．（本小题满分13分）

   已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为.数列{}的

前n项和为S_n，点均在函数y=f(x)的图象上。

  （Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

  （Ⅱ）设，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜对所有都成

立的最小正整数m。

   解答

18．（本小题满分12分）

   如图，在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m。

（Ⅰ）试确定m，使得直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为；

（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q在平面APD₁上的射影

垂直于AP，并证明你的结论。

解答

19．（本小题满分10分）

在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）。

已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）试问此次参赛的学生总数约为多少人？

（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可供查阅的（部分）标准正态分布表（x₀）=P(x＜x₀）

解答

20．（本小题满分14分）   

   设A、B分别为椭圆（a,b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，

且x=4为它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于

异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

（此题不要求在答题卡上画图）

解答

21．（本小题满分14分）

   设x=3是函数f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一个极值点。

  （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；

  （Ⅱ）设＞0，使得＜1成立，

求a的取值范围。

  解答

2007年

解答题

16．（本小题满分12分）

已知的面积为，且满足，设和的夹角为．

（I）求的取值范围；

（II）求函数的最大值与最小值．

 解答

17．（本小题满分12分）

在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，

将数据分组如表：

（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系

中画出频率分布直方图；

（II）估计纤度落在中的概率及纤度小于

的概率是多少？

（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值

                     （例如区间的中点值是）作为代表．据此，

                      估计纤度的期望．

 解答

 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，是的中点，且，

．

（I）求证：平面；

（II）当解变化时，求直线与平面所成的角的取值范围．

 解答

19．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．

（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

 解答

（此题不要求在答题卡上画图）

20．（本小题满分13分）

已知定义在正实数集上的函数，，其中．

设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求证：（）．

 解答

21．（本小题满分14分）

已知为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，求证，

求证，；

（III）求出满足等式的所有正整数．

 解答