三、解答题

21、（本小题满分14分）

已知m，n为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；

（Ⅱ）对于n≥6，已知，求证，m=1,1,2…，n；

（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.

解：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当x>-1，且x≠0时，m≥2,(1+x)m>1+mx.    ①

(i)当m=2时，左边＝1+2x+x2,右边＝1+2x，因为x≠0,所以x2>0，即左边>右边，

不等式①成立；

（ii）假设当m=k(k≥2)时，不等式①成立，即（1+x）k>1+kx,则当m=k+1时，

因为x>-1,所以1+x>0.又因为x≠0,k≥2,所以kx²>0.

于是在不等式（1+x）k>1+kx两边同乘以1+x得

（1+x）k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,

所以（1+x）k+1>1+(k+1)x,即当m＝k+1时，不等式①也成立.

综上所述，所证不等式成立.

(Ⅱ)证：当

而由（Ⅰ）， 

（Ⅲ）解：假设存在正整数成立，

即有（）+＝1.　　②

又由（Ⅱ）可得

（）+

+与②式矛盾，

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.

故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，32+42＝52，等式成立；

当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.

综上，所求的n只有n=2,3.