sin2x)，x∈R.2004年
解答题
17．（本小题满分12分）
设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，sin2x)，x∈R.
（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－
，]，求x；
（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<
)平移后得到函数
y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲
能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中
随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
（Ⅰ）分别求甲、乙两人考试合格的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
19．（本小题满分12分）
在三棱锥S—ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，
SA=SC=2
，M为AB的中点.
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；
（Ⅲ）求点B到平面SMN的距离.
20．（本小题满分12分）
某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能
力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利
润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，
预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润
为500(1+
)万元（n为正整数）.
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），
求An、Bn的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的
累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
21．（本小题满分12分）
如图，P是抛物线C：y=
x2上一点，直线l过点P并与抛物线C在
点P的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点Q.
（Ⅰ）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹方程，
并求点M到x轴的最短距离.
22．（本小题满分14分）
已知f(x)=
在区间[－1，1]上是增函数.
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x1、x2.试问：
是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]
恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
2005年
解答题
17．（本小题满分12分）
已知
.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求
的值.
18．（本小题满分12分）
甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
19．已知{
}是公比为q的等比数列，且
成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{
}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，
当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知函数
的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求函数
的解析式；
（Ⅱ）求函数
的单调区间.
21．（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，
F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
22．（本小题满分12分）
已知方向向量为v=(1,)的直线l过点（0，－2）和
椭圆C：
的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点
在椭圆C的右准线上.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点E（－2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，
满足
cot∠MON≠0（O为原点）.若存在，求直线m的方程；
若不存在，请说明理由.
2006
解答题
（17）（本小题满分12分）
已知函数
=sin
x+
sinxcosx，x∈R
（I）求函数
的最小正周期和单调增区间；
（II）函数的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字
（I）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；
（II）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；
（III）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率。
（19）（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆
的左焦点为F，O为坐标原点。
（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线
相切的圆的方程；
（II）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的
中点在直线
上，求直线AB的方程。
（21）（本小题满分12分）
已知
是二次函数，不等式
的解集是
且在
区间
上的最大值是12。
（I）求
的解析式；
（II）是否存在实数
使得方程
在区间
内
有且只有两个不等的实数根？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）
已知数列
满足
（I）证明：数列
是等比数列；
（II）求数列
的通项公式；
（II）若数列
满足
证明是等差数列。
2007年
解答题
17．（本小题满分12分）
在
中，
，
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
边的长为
，求
边的长．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名跳高运动员一次试跳
米高度成功的概率分别是
，
，
且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱
的所有棱长都为
，
为
中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
20．（本小题满分12分）
设函数
．
（Ⅰ）求
的最小值
；
（Ⅱ）若
对
恒成立，求实数
的取值范围．
21．（本小题满分12分）
数列
的前
项和为
，
，
．
（Ⅰ）求数列的通项
；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
．
22．（本小题满分14分）
如图，已知
，直线
，
为平面上的动点，过点
作
的垂线，垂足为点
，
且
．
（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
的直线交轨迹于
两点，交直线
于点
．
（1）已知
，
，求
的值；
（2）求
的最小值．
2007年
解答题
17．（本小题满分12分）
在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若边的长为，求边的长．
18．（本小题满分12分）
甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，
且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前项和．
22．（本小题满分14分）
如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，
且．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．
（1）已知，，求的值；
（2）求的最小值．
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