的分布列为解答题
全国卷Ⅰ(理)
（18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
0.4 |
0.2 |
0.2 |
0.1 |
0.1 |
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润
为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．
表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件
：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率
；
（Ⅱ）求
的分布列及期望
．
全国卷Ⅱ(理)
18．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件
：
“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率
；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中
二等品的件数，求
的分布列．
北京卷(理)
16．（本小题共14分）
如图，在
中，
，斜边
．
可以通过
以
直线
为轴旋转得到，且二面角
是直二面角．动点
的斜边
上．
（I）求证：平面
平面
；
（II）当
为的中点时，求异面直线
与
所成角的大小；
（III）求
与平面
所成角的最大值．
天津卷(理)
18．（本小题满分12分）
已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和
4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．
上海卷(理)
17．（本题满分14分）
在
中，
分别是三个内角
的对边．若
，
，
求
的面积
．
辽宁卷(理)
18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱
中，
，
，
分别为棱
的中点，
为棱
上的点，二面角
为
．
（I）证明：
；
（II）求
的长，并求点
到平面
的距离．
江苏卷
18．（本题满分12分）
如图，已知
是棱长为
的正方体，
点
在上，点
在
上，且
．
（1）求证：
四点共面；（4分）
（2）若点
在
上，
，点在
上，
，垂足为
，求证：
平面
；（4分）
（3）用
表示截面
和侧面所成的锐二面角的大小，求
．（4分）
浙江卷(理)
（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，
平面
，
平面，
，且
，是
的中点．
（I）求证：
；
（II）求
与平面
所成的角．
福建卷(理)
18．（本小题满分12分）
如图，正三棱柱的所有棱长都为
，
为
中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
C1
（Ⅲ）求点
到平面
的距离．
B1
湖北卷(理)
17．（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，
将数据分组如表：
|
分组 |
频数 |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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合计 |
|
（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系
中画出频率分布直方图；
（II）估计纤度落在
中的概率及纤度小于
的概率是多少？
（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值
（例如区间
的中点值是
）作为代表．据此，
估计纤度的期望．
湖南卷(理)
17．（本小题满分12分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，
每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加
过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选
择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．
广东卷(理)
17．（本小题满分12分）
下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量
（吨）与
相应的生产能耗
（吨标准煤）的几组对照数据．
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3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
2.5 |
3 |
4 |
4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
（3）已知该厂技改前
吨甲产品的生产能耗为
吨标准煤．试根据（2）求出
的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：
）
重庆卷(理)
18．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）
某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆
元的保险金，
对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获
元的赔偿（假设每辆车最多只赔
偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为
，
，
，且各车是否
发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
（Ⅰ）获赔的概率；
（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．
山东卷(理)
（18）（本小题满分12分）
设
和
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程
实根的个数（重根按一个计）．
（Ⅰ）求方程
有实根的概率；
（Ⅱ）求
的分布列和数学期望；
（Ⅲ）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程
有实根的概率．
江西卷(理)
18．（本小题满分12分）
如图，函数
的图象与轴交于点
，
且在该点处切线的斜率为
．
（1）求
和
的值；
（2）已知点
，点
是该函数图象上一点，
点
是
的中点，当
，
时，求
的值．
陕西卷(理)
18．（本小题满分12分）
某项选拔共有四轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，
否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别
为
且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选择中回答问题的个数记为
，求随机变量的分布列与数学期望．
（注：本小题结果可用分数表示）
四川卷(理)
（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批
产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定
是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.
求至少有1件是合格品的概率;
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任
取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可
能检验出不合格产品数的分布列及期望
，并求该商家拒收这批产品的概率.
安徽卷(理)
17．（本小题满分14分）
如图，在六面体
中，四边形
是边长为
2的正方形，四边形
是边长为1的正方形，
平面
，
平面
，
．
（Ⅰ）求证：
与
共面，
与
共面．
（Ⅱ）求证：平面
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小（用反三角函数值表示）．
海南宁夏卷(理)
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥
中，侧面
与侧面
均为等边三角形，
，
为中点．
（Ⅰ）证明：
平面；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
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