|
2026年高考数学新高考Ⅱ-13<-->2026年高考数学新高考Ⅱ-15
（5分）已知球$O$的体积为$4\sqrt{3}\pi$，$A$，$B$，$C$，$D$四点均在球$O$的球面上，△$ABC$为等边三角形．若$DA=DB=DC=\sqrt{2}$，则△$ABC$的面积为____．
〖答案〗$\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$．
〖分析〗由球的体积公式可得球的半径，由题意可得点$D$在底面$ABC$上的投影是△$ABC$的中心$O\prime$．设球心为$O$，则$O$，$O\prime$，$D$三点共线，利用勾股定理可得△$ABC$的外接圆半径$r$，从而可得△$ABC$的边长，从而可得面积．
〖解答〗解：由球的体积公式可得$\dfrac{4}{3}\pi R^{3}=4\sqrt{3}\pi$，可得球的半径$R=\sqrt{3}$，
因为$DA=DB=DC=\sqrt{2}$，所以点$D$在底面$ABC$上的投影是△$ABC$的中心$O\prime$．
设球心为$O$，则$O$，$O\prime$，$D$三点共线，且$OD=R=\sqrt{3}$．
设△$ABC$的外接圆半径为$r$，$O\prime O=h$，
则$O\prime D=\sqrt{D{C}^{2}-{r}^{2}}=\sqrt{2-{r}^{2}}$，
又$O\prime O=\vert \sqrt{3}-\sqrt{2-{r}^{2}}\vert$，且$O\prime C=r$，$OC=R=\sqrt{3}$，
在$Rt$△$OO\prime A$中：$r^{2}+h^{2}=3$，解得$r=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$．
设等边△$ABC$的边长为$a$，由外接圆半径$r=\dfrac{\sqrt{3}}{3}a$，
可得$a=\sqrt{5}$，所以$S_{\triangle ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^{2}=\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$．
〖点评〗本题主要考查球内接多面体问题，考查运算求解能力，属于中档题．
2026年高考数学新高考Ⅱ-13<-->2026年高考数学新高考Ⅱ-15
全网搜索"2026年高考数学新高考Ⅱ-14"相关
|
