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2026年高考数学新高考Ⅰ-10<-->2026年高考数学新高考Ⅰ-12
（6分）已知圆$C_{1}:(x+1)^{2}+y^{2}=1$，圆$C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，圆$C_{3}:x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$，直线$l:y=kx+b$与$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$均有两个交点．记$l$被$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$截得的弦长分别为$s_{1}$，$s_{2}$，$s_{3}$，则（ ）
A．$k$可以取任意实数
B．满足$s_{1}=s_{2}=s_{3}$的直线$l$共有3条
C．满足$s_{1}+s_{2}+s_{3}=3$的直线$l$多于3条
D．当$b=0$时，$s_{1}+s_{2}+s_{3}$的最大值为$\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$
〖答案〗$BCD$
〖分析〗$A$，根据直线与圆的位置关系，可以判断$k$不可取的值；$B$，根据垂径定理和点到直线距离，求出$s_{1}$，$s_{2}$，$s_{3}$，再根据三条弦相等求出$b$和$k$即可判断；$C$，令$b=0$，解实数方程即可求出$k$的值；$D$，根据$C$所得关系式，求导求解最大值即可．
〖解答〗解：设三圆圆心分别为$O_{1}$，$O_{2}$，$O_{3}$，三个圆心到直线$l$的距离分别为$d_{1}$，$d_{2}$，$d_{3}$，
由三圆方程可知，$O_{1}(-1,0)$，$O_{2}(1,0)$，$O_{3}(0,\sqrt{3})$，半径$r$均为1，
如图：
由直线与圆的位置关系可知，当直线$l\bot O_{1}O_{2}$或$l\bot O_{2}O_{3}$或$l\bot O_{1}O_{3}$时，直线$l$不可能同时与三圆有两个交点，
$\therefore k\ne \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，故$A$错误；
由垂径定理可知，$r^{2}=(\dfrac{{s}_{i}}{2})^{2}+{d}_{i}^{2}$，$i=1$，2，3，
$\therefore s_{i}=2\sqrt{{r}^{2}-{d}_{i}^{2}}$，$i=1$，2，3，
$\therefore$当$s_{1}=s_{2}=s_{3}$时，$d_{1}=d_{2}=d_{3}$，
$\therefore$$\dfrac{\vert -k+b\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\dfrac{\vert k+b\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\dfrac{\vert b-\sqrt{3}\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
$\therefore \vert -k+b\vert =\vert k+b\vert =\vert b-\sqrt{3}\vert$，
$\therefore k=0$或$b=0$，
当$k=0$时，$b=\sqrt{3}-b$，
$\therefore b=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，
当$b=0$时，$\vert k\vert =\sqrt{3}$，
$\therefore k=\pm \sqrt{3}$，
$\therefore$直线$l$共有三条，故$B$正确；
当$b=0$时，$d_{1}=d_{2}=\dfrac{\vert k\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$d_{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
$\therefore s_{1}=s_{2}=2\sqrt{1-\dfrac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，$s_{3}=2\sqrt{1-\dfrac{3}{1+{k}^{2}}}$，
$\therefore s_{1}+s_{2}+s_{3}=\dfrac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}+2\sqrt{1-\dfrac{3}{1+{k}^{2}}}$，
令$\dfrac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=t$，则$s_{1}+s_{2}+s_{3}=4t+2\sqrt{1-3{t}^{2}}$，
令$f(t)=4t+2\sqrt{1-3{t}^{2}}$，
$\because$直线$l$与三圆有两个交点，
$\therefore d_{1} < r$，$d_{2} < r$，$d_{3} < r$，
$\therefore$$\sqrt{3}t < 1$，
$\therefore 0 < t < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
当$f(t)=3$时，$4t+2\sqrt{1-3{t}^{2}}=3$，
整理得：$28t^{2}-24t+5=0$，
解得：$t=\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{5}{14}$，均符合题意，
$\therefore$$\dfrac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{5}{14}$，
$\therefore k=\pm \sqrt{3}$或$\pm \dfrac{\sqrt{171}}{5}$，
$\therefore$直线$l$至少有4条，故$C$正确；
令$f\prime (t)=4+2\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{-6t}{\sqrt{1-3{t}^{2}}}=4-\dfrac{6t}{\sqrt{1-3{t}^{2}}}=0$，
解得：$t=\dfrac{2}{\sqrt{21}} < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore$当$t=\dfrac{2}{\sqrt{21}}$时，$f(t)$有最大值，$f(\dfrac{2}{\sqrt{21}})=\dfrac{8}{\sqrt{21}}+2\sqrt{1-3\times \dfrac{4}{21}}=\dfrac{8\sqrt{21}}{21}+\dfrac{2\sqrt{21}}{7}=\dfrac{2\sqrt{21}}{3}$，故$D$正确．
故选：$BCD$．
〖点评〗本题主要考查了直线与圆的综合，结合实数方程的求解以及导数的应用是解题的关键，属于难题．
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