|
2026年高考数学新高考Ⅰ-5<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-7
（5分）已知函数$f(x)=\dfrac{x+2}{e^{x}+a}$的最大值为1，则$a=$（ ）
A．$\dfrac{1}{2}$ B．1 C．$\dfrac{3}{2}$ D．2
〖答案〗$B$
〖分析〗根据最值点函数值和导数值求解此时$x$的取值，从而求得$a$值．
〖解答〗解：$f\prime (x)=\dfrac{{e}^{x}+a-{e}^{x}(x+2)}{({e}^{x}+a)^{2}}=\dfrac{-(x+1){e}^{x}+a}{({e}^{x}+a)^{2}}$，
令$x=x_{0}$时，$f(x)$有最大值1，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{{x}_{0}+2}{{e}^{{x}_{0}}+a}=1}\\ {\dfrac{-({x}_{0}+1){e}^{{x}_{0}}+a}{({e}^{{x}_{0}}+a)^{2}}=0}\end{array}\right.$，
整理得：$x_{0}+2=(x_{0}+2){e}^{{x}_{0}}$，
所以$x_{0}+2=0$或${e}^{{x}_{0}}=1$，
所以$x_{0}=-2$或$x_{0}=0$，
当$x_{0}=-2$时，$f(-2)=0$，不符合题意；
所以$x_{0}=0$，
所以$a=1$，
所以$f\prime (x)=\dfrac{-(x+1){e}^{x}+1}{({e}^{x}+1)^{2}}$，
因为$(e^{x}+1)^{2} > 0$，令$g(x)=1-(x+1)e^{x}$，
所以$g\prime (x)=-e^{x}-(x+1)e^{x}=-(x+2)e^{x}$，
因为$e^{x} > 0$，
所以当$x > -2$时，$g(x)$单调递减，$x < -2$时，$g(x)$单调递增，
因为$x < -1$时$g(x) > 0$恒成立，
所以当$x > 0$时，$g(x) < 0$，当$x < 0$时，$g(x) > 0$，故$x=0$是$f(x)$的最大值，符合题意，
综上，$a=1$．
故选：$B$．
〖点评〗本题主要考查了利用导函数求解函数最值，属于难题．
2026年高考数学新高考Ⅰ-5<-->2025年高考数学新高考Ⅰ-7
全网搜索"2026年高考数学新高考Ⅰ-6"相关
|
