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2026年高考数学天津-8<-->2026年高考数学天津-10
（5分）已知双曲线$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > 0,b > 0)$的左焦点分别为$F$，$A$是右顶点，$P$是双曲线上一点，满足$\vert FA\vert =\vert FP\vert$，$\angle FAP=30^\circ$，则双曲线离心率为（ ）
A．4 B．$\dfrac{8}{3}$ C．$\dfrac{8}{5}$ D．$\dfrac{4}{3}$
〖答案〗$D$
〖分析〗由题意，不妨设$P$在第二象限，则$P(-\dfrac{a+3c}{2}$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}(c+a))$，代入双曲线方程，整理方程，解方程得出结论．
〖解答〗解：由题意，不妨设$P$在第二象限，则$P(-\dfrac{a+3c}{2}$，$\dfrac{\sqrt{3}}{2}(c+a))$，
因为$P$是双曲线上一点，
所以$\dfrac{(-\dfrac{a+3c}{2})^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{\dfrac{3}{4}(c+a)^{2}}{{b}^{2}}=1$，
整理可得$3e^{2}-e-4=0$，
因为$e > 1$，所以$e=\dfrac{4}{3}$．
故选：$D$．
〖点评〗本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．
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