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2025年高考数学天津-17<-->2025年高考数学天津-19
（15分）已知椭圆$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a > b > 0)$的左焦点为$F$，右顶点为$A$，$P$为$x=a$上一点，且直线$PF$的斜率为$\dfrac{1}{3}$，△$PFA$的面积为$\dfrac{3}{2}$，离心率为$\dfrac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点$P$的直线与椭圆有唯一交点$B$（异于点$A)$，求证：$PF$平分$\angle AFB$．
〖答案〗（Ⅰ）$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$；（Ⅱ）证明见解答．
〖分析〗$(I)$根据题意，利用椭圆的离心率得到$a=2c$，再由直线$PF$的斜率得到$m=c$，从而利用三角形的面积公式得到关于$c$的方程，解方程即可得解；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得$k$，进而得到直线$PB$的方程与点$B$的坐标，利用向量的夹角公式即可得证．
〖解答〗解：（Ⅰ）设椭圆$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a > b > 0)$的半焦距为$c$，
则左焦点$F(-c,0)$，右顶点$A(a,0)$，
由离心率$e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}$，得$a=2c$，
因为$P$为$x=a$上一点，设$P(a,m)$，
由直线$PF$的斜率为$\dfrac{1}{3}$，得$\dfrac{m-0}{a-(-c)}=\dfrac{1}{3}$，即$\dfrac{m}{a+c}=\dfrac{1}{3}$，
所以$\dfrac{m}{2c+c}=\dfrac{1}{3}$，
解得$m=c$，则$P(a,c)$，即$P(2c,c)$，
在△$PFA$中，$\vert AF\vert =a-(-c)=a+c=3c$，高为$\vert m\vert =c$，
所以$S_{\triangle PFA}=\dfrac{1}{2}\vert AF\vert \vert m\vert =\dfrac{1}{2}\times 3c\times c=\dfrac{3}{2}$，
解得$c=1$，则$a=2c=2$，$b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$，
所以椭圆的方程为$\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）证明：由（1）得$P(2,1)$，$F(-1,0)$，$A(2,0)$，
易知直线$PB$的斜率存在，设其方程为$y=kx+t$，则$1=2k+t$，即$t=1-2k$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去$y$得，$(3+4k^{2})x^{2}+8ktx+4t^{2}-12=0$，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以△$=(8k\cdot t)^{2}-4(3+4k^{2})\cdot (4t^{2}-12)=0$，即$4k^{2}-t^{2}+3=0$，
则$4k^{2}-(1-2k)^{2}+3=0$，解得$k=-\dfrac{1}{2}$，则$t=2$，
所以直线$PB$的方程为$y=-\dfrac{1}{2}x+2$，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-\dfrac{1}{2}x+2\\ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\ {y=\dfrac{3}{2}}\end{array}\right.$，则$B(1,\dfrac{3}{2})$，
所以$\overrightarrow{FB}=(2,\dfrac{3}{2})$，$\overrightarrow{FP}=(3,1)$，$\overrightarrow{FA}=(3,0)$，
所以$\cos \angle BFP=\dfrac{\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FP}}{\vert \overrightarrow{FB}\vert \cdot \vert \overrightarrow{FP}\vert }=\dfrac{2\times 3+\dfrac{3}{2}\times 1}{\sqrt{2^{2}+{(\dfrac{3}{2})}^{2}}\cdot \sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，
$\cos \angle PFA=\dfrac{\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FP}}{\vert \overrightarrow{FA}\vert \cdot \vert \overrightarrow{FP}\vert }=\dfrac{3\times 3+1\times 0}{3\sqrt{3^{2}+1^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$，
则$\cos \angle BFP=\cos \angle PFA$，
又$\angle BFP$，$\angle PFA\in (0,\dfrac{\pi }{2})$，
所以$\angle BFP=\angle PFA$，即$PF$平分$\angle AFB$．
〖点评〗本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑思维和运算求解能力，属于中档题．
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