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2025年高考数学天津-16<-->2025年高考数学天津-18
（15分）正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为4，$E$，$F$分别为$A_{1}D_{1}$，$C_{1}B_{1}$中点，$CG=3C_{1}G$．
$(I)$求证：$GF\bot$平面$EBF$；
（Ⅱ）求平面$EBF$与平面$EBG$夹角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥$D-BEF$的体积．
〖答案〗$(I)$证明见解答；（Ⅱ）$\dfrac{4}{5}$；（Ⅲ）$\dfrac{32}{3}$．
〖分析〗$(I)$建立空间直角坐标系，求平面$EBF$的法向量，通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行证明线面垂直；
（Ⅱ）利用空间向量法求平面与平面的夹角的余弦值；
（Ⅲ）先由题意得△$FBE$为直角三角形，求出其面积，然后利用空间向量法求点到平面的距离，最后利用棱锥的体积公式求解即可．
〖解答〗解：$(I)$证明：如图，以$D$为原点，$DA$、$DC$、$DD_{1}$所在直线分别为$x$、$y$、$z$轴建立空间直角坐标系$Dxyz$，
由已知得$D(0$，0，$0)$，$B(4$，4，$0)$，$G(0$，4，$3)$，$E(2$，0，$4)$，$F(2$，4，$4)$，
所以$\overrightarrow{GF}=(2,0,1)$，$\overrightarrow{BE}=(-2$，$-4$，$4)$，$\overrightarrow{EF}=(0,4,0)$，
设平面$BEF$的法向量为$\overrightarrow{n}=(x_{0}$，$y_{0}$，$z_{0})$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{n}=-2{x}_{0}-4{y}_{0}+4{z}_{0}=0}\\ {\overrightarrow{EF}\cdot \overrightarrow{n}=4{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}+2{y}_{0}-2{z}_{0}=0}\\ {{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，
取$z_{0}=1$，则$\overrightarrow{n}=(2,0,1)$，即$\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{n}$，
所以$\overrightarrow{GF}//\overrightarrow{n}$，
所以$GF\bot$面$BEF$．
（Ⅱ）由$(I)$得$\overrightarrow{EG}=(-2$，4，$-1)$，
设平面$BEG$的法向量为$\overrightarrow{m}=(x_{1}$，$y_{1}$，$z_{1})$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{m}=-2{x}_{1}-4{y}_{1}+4{z}_{1}=0}\\ {\overrightarrow{EG}\cdot \overrightarrow{m}=-2{x}_{1}+4{y}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{x}_{1}-3{z}_{1}=0}\\ {8{y}_{1}-5{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取$z_{1}=1$，则$\overrightarrow{m}=(\dfrac{3}{4}$，$\dfrac{5}{8}$，$1)$，
所以$\cos < \overrightarrow{n},\overrightarrow{m} > =\dfrac{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{m}}{\vert \overrightarrow{n}\vert \cdot \vert \overrightarrow{m}\vert }=\dfrac{2\times \dfrac{3}{4}+1\times 1}{\sqrt{4+1}\times \sqrt{\dfrac{9}{16}+\dfrac{25}{64}+1}}=\dfrac{4}{5}$，
故平面$EBF$与平面$EBG$夹角的余弦值为$\dfrac{4}{5}$．
（Ⅲ）在正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别为$A_{1}D_{1}$，$C_{1}B_{1}$中点，
所以$EF\bot$平面$CBB_{1}C_{1}$，
又$FB\subset$平面$CBB_{1}C_{1}$，所以$EF\bot FB$，
在△$FBE$中，因为$EF=4$，$BF=\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}$，$BE=\sqrt{EF^{2}+BF^{2}}=6$，
所以$S_{\triangle BEF}=\dfrac{1}{2}\cdot EF\cdot BF=\dfrac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，
又$\overrightarrow{DE}=(2$，0，$4)$，
则点$D$到平面$BEF$的距离为$d=\dfrac{\vert \overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{n}\vert }{\vert \overrightarrow{n}\vert }=\dfrac{2\times 2+4\times 1}{\sqrt{4+1}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{5}$，
所以三棱锥$D-BEF$的体积为$V=\dfrac{1}{3}S_{\triangle BEF}\cdot d=\dfrac{1}{3}\times 4\sqrt{5}\times \dfrac{8\sqrt{5}}{5}=\dfrac{32}{3}$．
〖点评〗本题考查利用空间向量法判断线面垂直和求二面角的余弦值，考查锥体的体积，是中档题．
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