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2025年高考数学天津-13<-->2025年高考数学天津-15
（5分）△$ABC$中，$D$为$AB$边中点，$\overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AE}=$____ （用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示）；若$\vert \overrightarrow{AE}\vert =5$，$AE\bot CB$，则$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=$____ ．
〖答案〗$\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$；$-15$
〖分析〗由平面向量的线性运算计算可求得第一空；由$\vert \overrightarrow{AE}\vert =5$，$AE\bot CB$结合平面向量的线性运算与数量积建立关于${\overrightarrow{a}}^{2},\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b},{\overrightarrow{b}}^{2}$的方程组，求解可得$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=180-4{\overrightarrow{b}}^{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=16{\overrightarrow{b}}^{2}-540$，再由向量的数量积运算计算$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}$即可．
〖解答〗
解：因为$D$为$AB$边中点，$\overrightarrow{CE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}$，
所以$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$
$=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$；
因为$\vert \overrightarrow{AE}\vert =5$，所以$\dfrac{1}{36}{\overrightarrow{a}}^{2}+\dfrac{2}{9}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+\dfrac{4}{9}{\overrightarrow{b}}^{2}=25$，①
因为$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，且$AE\bot CB$，
所以$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CB}=(\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\dfrac{1}{6}{\overrightarrow{a}}^{2}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\dfrac{2}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}=0$，②
由①②可得：$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=180-4{\overrightarrow{b}}^{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}=16{\overrightarrow{b}}^{2}-540$，
因为$\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$，
所以$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CD}=(\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b})\cdot (\dfrac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\dfrac{1}{12}{\overrightarrow{a}}^{2}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\dfrac{2}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}$
$=\dfrac{1}{12}(16{\overrightarrow{b}}^{2}-540)+\dfrac{1}{6}(180-4{\overrightarrow{b}}^{2})-\dfrac{2}{3}{\overrightarrow{b}}^{2}=-15$．
故答案为：$\dfrac{1}{6}\overrightarrow{a}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{b}$；$-15$．
〖点评〗本题考查平面向量的线性运算和数量积，属于中档题．
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