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2025年高考数学天津-7<-->2025年高考数学天津-9
（5分）$f(x)=\sin (\omega x+\varphi )(\omega > 0$，$-\pi < \varphi < \pi )$，在$[-\dfrac{5\pi }{12}$，$\dfrac{\pi }{12}]$上单调递增，且$x=\dfrac{\pi }{12}$为它的一条对称轴，$(\dfrac{\pi }{3}$，$0)$是它的一个对称中心，当$x\in [0$，$\dfrac{\pi }{2}]$时，$f(x)$的最小值为（ ）
A．$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ B．$-\dfrac{1}{2}$ C．1 D．0
〖答案〗$A$
〖分析〗根据函数的单调性，确定出$\omega =4n+2$，再根据单调区间确定周期范围得出$0 < \omega \leqslant 2$，从而可确定$\omega =2$，最后结合单调性与对称中心得出$\varphi$，可得出$f(x)$解析式，再根据正弦函数的图像得出最值即可．
〖解答〗解：因为$f(x)$在$[-\dfrac{5\pi }{12}$，$\dfrac{\pi }{12}]$上单调递增，且$x=\dfrac{\pi }{12}$为它的一条对称轴，
可得$f(\dfrac{\pi }{12})=1$，即$\dfrac{\pi }{12}\omega +\varphi =2k\pi +\dfrac{\pi }{2}$，$k\in Z$，①
因为$f(x)$的图象关于$(\dfrac{\pi }{3}$，$0)$对称，
所以$\dfrac{\pi }{3}\omega +\varphi =m\pi$，$m\in Z$，②
且$\dfrac{\pi }{3}-\dfrac{\pi }{12}=\dfrac{2n+1}{4}T=\dfrac{2n+1}{4}\times \dfrac{2\pi }{\omega }$，$n\in Z$，
解得$\omega =4n+2$，$n\in Z$，
因为在$[-\dfrac{5\pi }{12}$，$\dfrac{\pi }{12}]$上单调递增，所以$\dfrac{\pi }{12}-(-\dfrac{5\pi }{12})\leqslant \dfrac{T}{2}$，
解得$0 < \omega \leqslant 2$，所以$\omega =2$，
根据①②，可得$\left\{\begin{array}{l}{\varphi =2k\pi +\dfrac{\pi }{3}}\\ {\varphi =m\pi -\dfrac{2\pi }{3}}\end{array}\right.$，
因为$-\pi < \varphi < \pi$，所以$\varphi =\dfrac{\pi }{3}$，
故$f(x)=\sin (2x+\dfrac{\pi }{3})$，
当$x\in [0$，$\dfrac{\pi }{2}]$时，$2x+\dfrac{\pi }{3}\in [\dfrac{\pi }{3}$，$\dfrac{4\pi }{3}]$，可得$f(x)$的最小值为$f(\dfrac{\pi }{2})=\sin \dfrac{4\pi }{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：$A$．
〖点评〗本题主要考查三角函数的周期公式、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
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