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2025年高考数学上海-18<-->2025年高考数学上海-20
（14分）已知$f(x)=x^{2}-(m+2)x+m\ln x$，$m\in R$．
（1）若$f$（1）$=0$，求不等式$f(x)\leqslant x^{2}-1$的解集；
（2）若函数$y=f(x)$满足在$(0,+\infty )$上存在极大值，求$m$的取值范围．
〖答案〗（1）$[1$，$+\infty )$；（2）$(0$，$2)\bigcup (2$，$+\infty )$．
〖分析〗（1）由$f$（1）$=0$求得$m$，再结合函数的单调性解不等式即可；
（2）求导后分类讨论即可求得．
〖解答〗解：（1）由题意，$f$（1）$=1-m-2=0$，解得$m=-1$，所以$f(x)=x^{2}-x-\ln x$，
因为$f(x)\leqslant x^{2}-1$，所以$x^{2}-x-\ln x\leqslant x^{2}-1\Rightarrow x+\ln x-1\geqslant 0$，
设$g(x)=x+\ln x-1$，$x > 0$，
因为$y=x$与$y=\ln x$均为增函数，所以$g(x)$为增函数，
因为$g$（1）$=0$，所以由$g(x)\geqslant 0$，得$x\geqslant 1$，
所以不等式$f(x)\leqslant x^{2}-1$的解集为$[1$，$+\infty )$；
（2）由题意，$f'(x)=2x-(m+2)+\dfrac{m}{x}=\dfrac{2x^{2}-(m+2)x+m}{x}=\dfrac{(x-1)(2x-m)}{x}$，
当$m\leqslant 0$时，$f'(x)=\dfrac{(x-1)(2x-m)}{x}\ge 0\Rightarrow x\ge 1$，
故$f(x)$在$(0,1)$单调递减，在$(1,+\infty )$单调递增，故$f(x)$无极大值，不成立；
当$m > 0$时，当$m=2$时，$f'(x)=\dfrac{2(x-1)^{2}}{x}\ge 0$恒成立，$f(x)$在$(0,+\infty )$单调递增，故$f(x)$无极大值，不成立；
当$0 < m < 2$时，$f\prime \left( x \right)=\dfrac{\left( x-1 \right)\left( 2x-m \right)}{x}\ge 0\Rightarrow x\ge 10 < x\le \dfrac{m}{2}$，
$f(x)$在$(0,\dfrac{m}{2})$和$(1,+\infty )$单调递增，在$(\dfrac{m}{2},1)$单调递减，故$f(x)$在$x=\dfrac{m}{2}$处取得极大值；
当$m > 2$时，$f'(x)=\dfrac{(x-1)(2x-m)}{x}\ge 0\Rightarrow x\ge \dfrac{m}{2}$或$0 < x\leqslant 1$，
$f(x)$在$(0,1)$和$(\dfrac{m}{2},+\infty )$单调递增，在$(1,\dfrac{m}{2})$单调递减，故$f(x)$在$x=1$处取得极大值；
综上，$m$的取值范围为$(0$，$2)\bigcup (2$，$+\infty )$．
〖点评〗本题考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
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