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2025年高考数学上海-17<-->2025年高考数学上海-19
（14分）如图，$P$是圆锥的顶点，$O$是底面圆心，$AB$是底面直径，且$AB=2$．
（1）若直线$PA$与圆锥底面的所成角为$\dfrac{\pi }{3}$，求圆锥的侧面积；
（2）已知$Q$是母线$PA$的中点，点$C$、$D$在底面圆周上，且弧$AC$的长为$\dfrac{\pi }{3}$，$CD//AB$．设点$M$在线段$OC$上，证明：直线$QM//$平面$PBD$．
〖答案〗（1）$2\pi$；（2）证明见解答．
〖分析〗（1）由题意及圆锥的性质，结合圆锥侧面积公式计算即可；
（2）利用证明面和面平行证线面平行．
〖解答〗解：（1）如图，连接$PO$，依题意及圆锥的性质得$\angle PAO=\dfrac{\pi }{3}$，$AO=\dfrac{1}{2}AB=1$，$\angle POA=\dfrac{\pi }{2}$，
所以$PA=\dfrac{AO}{\cos \angle PAO}=\dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi }{3}}=2$，
所以圆锥的侧面积${{S}_{}}=\pi \cdot AO\cdot PA=2\pi $．
（2）证明：连接$QO$，$QC$，$OD$，
因为$Q$是母线$PA$的中点，$AB$是底面圆$O$的直径，
所以$QO//PB$，
又$PB\subset$平面$PBD$，$QO\not\subset$平面$PBD$，
所以$QO//$平面$PBD$，
因为$\widehat{AC}=\angle AOC\cdot OA=\dfrac{\pi }{3}$，
所以$\angle AOC=\dfrac{\pi }{3}$，
因为$CD//AB$，
所以$\angle OCD=\angle AOC=\dfrac{\pi }{3}$，
则△$OCD$为等边三角形，$\angle COD=\dfrac{\pi }{3}$，
所以$\angle BOD=\dfrac{\pi }{3}$，
所以△$OBD$为等边三角形，$\angle OBD=\dfrac{\pi }{3}$，
所以$OC//BD$，
所以四边形$OCDB$是平行四边形，则$OC//BD$，
又$BD\subset$平面$PBD$，$OC\not\subset$平面$PBD$，
所以$OC//$平面$PBD$，
而$OC\bigcap QO=O$，$OC$，$QO\subset$平面$QCO$，
所以平面$QCO//$平面$PBD$，
又$QM\subset$平面$QCO$，所以$QM//$平面$PBD$．
〖点评〗本题考查圆锥的性质及侧面积的求解，考查了空间中直线与平面平行的证明，属于中档题．
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