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2025年高考数学上海-9<-->2025年高考数学上海-11
（5分）已知复数$z$满足$z^{2}=(\overline{z})^{2}$，$\vert z\vert \leqslant 1$，则$\vert z-2-3i\vert$的最小值是____．
〖答案〗$2\sqrt{2}$．
〖分析〗设$z=a+bi(a,b\in R)$，根据$z^{2}=(\overline{z})^{2}$，可得$ab=0$，又$\vert z\vert \leqslant 1$，可得$z$在复平面内对应的点的轨迹，由复数模的几何意义，可得$\vert z-2-3i\vert$的最小值．
〖解答〗解：设$z=a+bi(a,b\in R)$，则$z^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi$，$(\overline{z})^{2}=a^{2}-b^{2}-2abi$，
因为$z^{2}=(\overline{z})^{2}$，所以$abi=0$，即$ab=0$，
又$\vert z\vert \leqslant 1$，所以$z$在复平面内对应的点的轨迹为$\left\{\begin{array}{l}{-1\le a\le 1}\\ {b=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1\le b\le 1}\\ {a=0}\end{array}\right.$，
$\vert z-2-3i\vert$表示点$(a,b)$到点$(2,3)$的距离，
由点$(a,b)$的轨迹可知，当$a=0$，$b=1$时，$\vert z-2-3i\vert$有最小值，最小值为$\sqrt{(0-2)^{2}+(1-3)^{2}}=2\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．
〖点评〗本题主要考查共轭复数和复数的模，属于中档题．
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