解答题

全国卷Ⅰ(理)

2004年

22．（本小题满分14分）

已知数列，且a_2k=a_2k－1+(－1)^k, a_2k+1=a_2k+3^k,

其中k=1,2,3,…….

（I）求a₃, a₅；

（II）求{ a_n}的通项公式.

解答

2005年

（22）（本大题满分12分）

（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明

解答

2006年

（22）（本小题满分12分）

设数列｛a_n｝的前n项和

…。

（Ⅰ）求首项a₁与通项a_n；

（Ⅱ）设…，证明：

解答

2007年

（22）（本小题满分12分）

已知数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列中，，，

证明：，．

解答

全国卷Ⅱ(理)

2004年

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)=ln(1+x)－x，g(x)=xlnx.

（Ⅰ）求函数f(x)的最大值；

（Ⅱ）设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.

解答

2005年

（22）（本小题满分12分）

已知，函数．

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

解答

2006年

（22）（本小题满分１２分）

              设数列的前项和为，且方程

              有一根为

       （I）求

       （II）求的通项公式

解答

2007年

22．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．

解答

全国卷Ⅲ(理)

2004年

22．（本小题满分14分）已知数列的前项和满足.

（1）写出数列的前三项；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对任意的整数，有 .

解答

2005年

22.（本小题满分12分）

 已知函数f(x)=

(1)求函数f(x)的单调区间和值域；

（2）设a≥1, 函数g(x)=x³-3a²x-2a, x∈[0,1], 若对于任意x₁∈[0,1],

总存在x₀∈[0,1], 使得g((x₀) =f(x₁)成立，求a的取值范围

解答

全国卷Ⅳ(理)

2004年

22．（本小题满分14分）

       已知函数的所有正数从小到大排成数列

（Ⅰ）证明数列{}为等比数列；

（Ⅱ）记是数列{}的前n项和，求

 解答

2007年

北京卷(理)

2004年

（20）（本小题满分13分）

    给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按

    下列要求进行分组，每 组数之和不大于150且分组的步骤是：

    首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与

    所有可能的其他选择相 比是最小的，称为第一组余差；

    然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，

    这时的余差为； 如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，

直至第N组（余差为）把这些数全部分 完为止。

    （I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
   

    （II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与的大小关系，

并证明

    （III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：

   解答

2005年

20 （本小题共14分）

设是定义在[0，1]上的函数，若存在，使得在[0，]上

单调递增，在[，1]单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，为峰点，

包含峰点的区间为含峰区间

对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法

（Ⅰ）证明：对任意的 , ,若，则（0，）为

含峰区间；若，则（，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的（0<<0.5），证明：存在,满足，

使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+;

(Ⅲ)选取, 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），

在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定是一个新的含峰区间．

在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两

之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

 解答

2006年

(20)(本小题共14分)

    在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|,n=3，4，5，…，

则称{a_n}为“绝对差数列”.

    (Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；

    (Ⅱ)若“绝对差数列”{a_n}中，a₂₀=3，a₂₁=0，数列{b_n}满足b_n=a_n+ a_n+1

+ a_n+2，n=1，2，3，…，分别判断当n→∞时，a_n与b_n的极限是否存在，如果存

在，求出其极限值；

（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.

       解答

2007年

20．已知集合，其中，由中的元素

构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，

写出相应的集合和；

（II）对任何具有性质的集合，证明：；

（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．

解答

天津卷(理)

2004年

22. （本小题满分14分）

  椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）

的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。

  （1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于

另一点M，证明。

 解答

2005年

（22）（本小题满分14分）

设函数.

（Ⅰ）证明,其中为k为整数；

（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；

（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,

    证明

解答

2006年

(22)(本小题满分14分)

    如图，以椭圆(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为

半径作大圆和小圆．过椭圆右焦点F(c，0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大

圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．

    (Ⅰ)证明c²=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；

(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明·=b²．

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，

原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，

垂足为，求点的轨迹方程．

解答

上海卷(理)

2004年

22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分

  设P₁(x₁,y₁), P₁(x₂,y₂),…, P_n(x_n,y_n)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上

的点, 且a₁=², a₂=², …, a_n=²构成了一个公差为d(d≠0) 的

等差数列, 其中O是坐标原点. 记S_n=a₁+a₂+…+a_n.

(1)      若C的方程为=1,n=3. 点P₁(3,0) 及S₃=255, 求点P₃的坐标；

 (只需写出一个)

  (2)若C的方程为(a>b>0). 点P₁(a,0), 对于给定的自然数n, 当公

差d变化时, 求S_n的最小值；

  (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P₁,对于给定的自然数n,

写出符合条件的点P₁, P₂,…P_n存在的充要条件,并说明理由.

 解答

2005年

22.在直角坐标平面中，已知点，，，，其中

n是正整数对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的

对称点，为关于点的对称点

（1）求向量的坐标；

（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图像，其中是

以3位周期的周期函数，且当时，求以曲线C为图像的函数

在上的解析式；

（3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标

解答

2006年

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，

第3小题满分9分）

已知函数＝＋有如下性质：如果常数＞0，那么该函数在

0，上是减函数，在，＋∞上是增函数．

（1）如果函数＝＋（＞0）的值域为6，＋∞，求的值；

（2）研究函数＝＋（常数＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；

（3）对函数＝＋和＝＋（常数＞0）作出推广，使它们都是

你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必

证明），并求函数＝＋（是正整数）在区间[，2]上

的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

 解答

2007年

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，

第3小题满分8分．

我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，

其中，，．

如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．

（1）若是边长为1的等边三角形，求

“果圆”的方程；

    （2）当时，求的取值范围；

（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”

的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；

若不存在，说明理由．

解答

辽宁卷（理）

2004年

22．（本小题满分12分）

已知函数.

   （1）求函数的反函数的导数

   （2）假设对任意成立，求实

数m的取值范围.

解答

2005年

22．（本小题满分12分）

 函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设

是曲线在点（）得的切线方程，并设

函数

   （Ⅰ）用、、表示m；

   （Ⅱ）证明：当；

   （Ⅲ）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，

         求b的取值范围及a与b所满足的关系.

     解答

     2006年（理）

22．（本小题满分12分）

     已知,其中,设,.

(I) 写出;

(II) 证明:对任意的,恒有.

解答

2007年

21．（本小题满分12分）

已知数列，与函数，，满足条件：

，.

（I）若，，，存在，求的取值范围；

（II）若函数为上的增函数，，，，证明对任意，

（用表示）．

解答

江苏卷

2004年

22.已知函数满足下列条件：对任意的实数x₁，x₂都有

  和，其中是大于0的常数.

设实数a₀，a，b满足 和

(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；

(Ⅱ)证明；

(Ⅲ)证明.

 解答

浙江卷(理)

2004年

（22）（本题满分14分）

  如图，ΔOBC的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,

设P为线段BC的中点,P₂为线段CO的中点,P₃为线

段OP₁的中点,对于每一个正整数n,P_n+3为线段P_nP_n+1的

中点,令P_n的坐标为(x_n,y_n),

  （Ⅰ）求及;

（Ⅱ）证明

 (Ⅲ)若记证明是等比数列.

       解答

2005年

20．设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中

a_n＝－2－4_n－，由以下方法得到：

   x₁＝1，点P₂(x₂，2)在抛物线C₁：y＝x₂＋a₁x＋b₁上，点A₁(x₁，0)到P₂的距离是

   A₁到C₁上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x₂＋a_n x＋b_n上，

   点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．

   (Ⅰ)求x₂及C₁的方程．

   (Ⅱ)证明{}是等差数列．

解答

2006年

（20）已知函数数列{}（）的第一项以后各项

按如下方式取定：曲线处的切线与经过（0，0）和

（两点的直线平行（如图），求证：当nN⁺时，

（Ⅰ）；

（Ⅱ）。

解答

福建卷(理)

2004年

（22）（本小题满分12分）

如图，P是抛物线C：y=x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.

（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.

                                                 解答

2005年

22．（本小题满分14分）

已知数列{an}满足a1=a, an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同

的数列，如当a=1时，得到无穷数列：

（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；

（Ⅱ）设数列{bn­}满足b1=－1, bn+1=，求证a取数列{bn}中的

任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}；

（Ⅲ）若，求a的取值范围.

解答

2006年

（22）（本小题满分14分）

       已知数列满足

       （I）求数列的通项公式；

  　（II） 若数列｜b_n｜满足     ，

证明：｜b_n｜是等差数列

（Ⅲ）证明：

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：．

解答

湖北卷(理)

2004年

（22）（本小题满分14分）

已知，数列满足n=1，2，…。

（Ⅰ）已知数列极限存在且大于零，求A=(将A用表示)；

（Ⅱ）设…，证明：；

（Ⅲ）若对…，都成立，求的取值范围。

 　解答

2005年

22．（本小题满分14分）

已知不等式，其中n为大于2的整数，表示

不超过的最大整数设数列{}的各项为正，且满足，

  （Ⅰ）证明：，；

  （Ⅱ）猜测数列{}是否有极限？如果有，写出极限的值；

  （Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有

解答

2006年

21．（本小题满分14分）

   设x=3是函数f(x)=(x²+ax+b)e^3-x(x∈R)的一个极值点。

  （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；

  （Ⅱ）设＞0，使得＜1成立，

求a的取值范围。

  解答

2007年

21．（本小题满分14分）

已知为正整数，

（I）用数学归纳法证明：当时，；

（II）对于，已知，求证，

求证，；

（III）求出满足等式的所有正整数．

 解答

湖南卷(理)

2004年

（22）（本小题满分14分）

如图，直线与相交于点P。直线

与x轴交于点P₁，过点P₁作x轴的垂线交直线于点Q₁，过点Q₁作y轴的

垂线交直线于点P₂，过点P₂作x轴的垂线交直线于点Q₂，…，这样

一直作下去，可得到一系列点P₁，Q₁，P₂，Q₂，…。点P_n（n=1,2,…）

的横坐标构成数列。

  (Ⅰ)证明

(Ⅱ)求数列的通项公式；

(Ⅲ)比较与的大小。

 解答

2005年

21．（本小题满分14分）

    已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ax2＋bx，a≠0

   （Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

   （Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中

    点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N

    处的切线不平行

解答

2006年

21.(本小题满分14分)

已知椭圆C₁:=1，抛物线C₂:(y-m)²=2px(p＞0)，且C₁、C₂的公共弦AB过椭圆

C₁的右焦点.

(Ⅰ)当AB⊥x轴时，求m、p的值，并判断抛物线C₂的焦点是否在直线AB上；

(Ⅱ)是否存在m、p的值，使抛物线C₂的焦点恰在直线AB上?若存在，求出符合条件的

m、p的值；若不存在，请说明理由．

解答

2007年

21．（本小题满分13分）

已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，

且满足，，…．

（I）证明：数列（）是常数数列；

（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；

（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．

解答

广东卷（理）

2004年

22．(14分)设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x²–y²=1

相交于C、D两点， C、D三等分线段AB. 求直线的方程.

  解答

2005年

20．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、

y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图5所示）.将矩形折叠，使A点落

在线段DC上.

    （Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为k，

     试写出折痕所在直线的方程；

    （Ⅱ）求折痕的长的最大值.

     解答

     2006年

20．（本小题满分12分）

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数（x）组成的集合：

①对任意的都有(2x);②存在常数L（0＜L＜1），

使得对任意的x₁,x₂[1，2]，都有|（2x₁）- (2x₂)|.

（Ⅰ）设（x）=证明：（x）A:

 (Ⅱ)设（x），如果存在x₀(1,2),使得x₀=（2x₀）,

那么这样的x₀是唯一的：

（Ⅲ）设任取x₁(1,2),令x_n+1=（2x_n）,n=1,2……证明：给定

正整数k，对任意的正整数p,成立不等式。

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

已知函数，是方程的两个根（），是的导数，

设，．

（1）求的值；

（2）证明：对任意的正整数，都有；

（3）记，求数列的前项和．

 解答

重庆卷(理)

2004年

22．（本小题满分14分）

      设数列满足

(1)     证明对一切正整数n 成立；

(2)  令,判断的大小，并说明理由。

解答

2005年

22．（本小题满分12分）

       数列{an}满足.

    （Ⅰ）用数学归纳法证明：；

  （Ⅱ）已知不等式，其中无理数

e=2.71828….

解答

2006年

（22）（本小题满分12分）

已知一列椭圆，若椭圆上有一点，

使到右准线的距离是与的等差中项，

其中分别是的左、右焦点。

（Ⅰ）试证：；

（Ⅱ）取，并用表示的面积，

试证：且

      解答

2007年

22．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

如题（22）图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：．

（1）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，，，

使，

证明：为定值，并求此定值．

解答

山东卷(理)

2005年

(22) （本小题满分14分）已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别

为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，

并求出该定点的坐标

解答

2006年

22.(本小题满分14分)

    已知a₁＝2，点(a_n，a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…．

(Ⅰ)证明数列{lg(1+a_n)}是等比数列；

(Ⅱ)设T_n=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_n)，求T_n及数列{a_n}的通项；

(Ⅲ)记b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n,并证明S_n+=1.

解答

2007年

（22）（本小题满分14分）

设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）求函数的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．

解答

江西卷(理)

2005年

22．（本小题满分14分）

  设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，

  过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

 （1）求△APB的重心G的轨迹方程.

 （2）证明∠PFA=∠PFB.

解答

2006年

22.(本小题满分14分)

已知数列{a_n}满足：a₁=,且a_n=(n≥2,n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)证明：对一切正整数n，不等式a₁·a₂·…·a_n＜2·n!恒成立.

解答

2007年

22．（本小题满分14分）

设正整数数列满足：，且对于任何，有．

（1）求，；

（3）求数列的通项．

解答

陕西卷(理)

2006年

（22）（本小题满分１4分）

已知函数且存在使

（I）证明：是R上的单调增函数；

（II）设

其中　

       证明：

       （III）证明：

解答

2007年

22．（本小题满分12分）

已知各项全不为零的数列的前项和为，且，其中．

（I）求数列的通项公式；

（II）对任意给定的正整数，数列满足（），

，求．

解答

四川卷(理)

2006年

（22）（本小题满分14分）

     已知函数，的导函数是，

对任意两个不相等的正数，证明：

       （Ⅰ）当时，

       （Ⅱ）当时，

解答

2007年

(22)(本小题满分14分)

设函数.

(Ⅰ)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;

(Ⅱ)对任意的实数x,证明＞

(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论

并求出a的值;若不存在,请说明理由.

解答

安徽卷(理)

2006年

（22）（本小题满分14分）

         如图，F为双曲线C：（a>0,b>0）的右焦点，P为双曲线C右支上一点，

     且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四

     边形，|PF|=|OF|。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与的关系式：

（Ⅱ）写=1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=

12，求此时的双曲线方程。

解答

2007年

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，

以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目

是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，

不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，

在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就

变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．

（Ⅰ）写出与的递推关系式；

（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．

解答

海南宁夏卷(理)

2007年

22．请考生在三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知是的切线，为切点，是的割线，与交于两点，

圆心在的内部，点是的中点．

（Ⅰ）证明四点共圆；

（Ⅱ）求的大小．

22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

和的极坐标方程分别为．

（Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．

22．Ｃ（本小题满分10分）选修；不等式选讲

设函数．

（I）解不等式；

（II）求函数的最小值．

解答