三、解答题

（22）（本小题满分１4分）

已知函数且存在使

（I）证明：是R上的单调增函数；

（II）设

其中　

       证明：

       （III）证明：

.解：(1)∵f′(x)=3x²－2x+=3(x－)²+＞0,   

∴f(x)是R上的单调增函数.

（Ⅱ）∵0＜x₀＜,  即  x₁＜x₀＜y₁.   又f(x)是增函数. 

∴f(x₁)＜f(x₀)＜f(y₁),

即x₂＜x₀＜y₂,  又   x₂=f(x₁)=f(0)= ＞0=x₁,y₂=f(y₁)=f()=＜=y₁.

综上，x₁＜x₂＜x₀＜y₂＜y₁.

用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，上面已证明成立.

(2)假设当n=k  (k≥1)时有  x_k＜x_k+1＜x₂＜y_k+1＜y₂.

当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(x_k)＜f(x_k+1)＜f(x₀)＜f(y_k+1)＜f(y_k)，

∴x_k+1＜x_k+2＜x₀＜y_k+2＜y_k+1.