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空间向量数量积运算<-->空间向量基本定理
空间向量数量积运算的应用
⑴求证垂直：求证两直线垂直转化为求证两直线的方向向量垂直。
若设两直线的方向向量分别为 ，则
⑵求向量的模：若 ，则
 。
⑶求两直线的夹角：求两直线的夹角转化为求两直线的方向向量的夹角。
若设两直线的方向向量分别为 ，则
 。
⑷求两点间的距离：求两点间的距离转化为求以这两点为始终点的有向线段的长度，即求向量的模。
若 ，则
 。
⑸求平面的法向量：
1o 平面的法向量：如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量。
2o 求平面的法向量：
设非零向量 ，使得 ， 不共线，若非零向量 为平面 的法向量，则
 。
解得  ，
令 （ , 可取使 尽量简单的常数值），则法向量
 。
⑹求空间点面距离：
如图，设平面 的法向量 及平面上一点A，则点P到
平面的距离d为
 。
用向量方法求点面距离的特点是不要作垂线，不要求找到垂足就可以求得点面距离。
⑺求线面所成的角：
设直线L的方向向量为 平面的法向量为 ，向量 与 的夹角为 ，直线L与平面所成的角为 ，则 ，
 。
⑻求空间二面角：
设平面α的法向量为 ，平面β的法向量为 ，向量 所成的角为 ，
若 ，
则
 。
那么二面角 的大小为或 ，视具体情况而定（如图）。
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