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空间向量数量积运算的应用
空间向量数量积运算
<-->
空间向量基本定理
空间向量数量积运算的应用
⑴求证垂直：
求证两直线垂直转化为求证两直线的方向向量垂直
。
若设两直线的方向向量分别为
，则
⑵求向量的模：
若
，则
。
⑶求两直线的夹角：
求两直线的夹角转化为求两直线的方向向量的夹角
。
若设两直线的方向向量分别为
，则
。
⑷求两点间的距离：
求两点间的距离转化为求以这两点为始终点的有向线段的长度，即求向量的模
。
若
，则
。
⑸求平面的法向量：
1
o
平面的法向量：
如果
，那么向量
叫做平面
的法向量。
2
o
求平面的法向量：
设非零向量
，使得
，
不共线，若
非零向量
为平面
的法向量，则
。
解得
，
令
（
,
可取使
尽量简单的常数值），则法向量
。
⑹求空间点面距离：
如图，设平面
的法向量
及平面
上一点A，则点
P到
平面
的距离d为
。
用向量方法求点面距离的特点是不要作垂线，不要求找到垂足就可以求得点面距离
。
⑺求线面所成的角：
设直线L的方向向量为
平面
的法向量为
，向量
与
的夹角为
，直线L与平面
所成的角为
，则
，
。
⑻求空间二面角：
设平面α的法向量为
，平面β的法向量为
，向量
所成的角为
，
若
，
则
。
那么二面角
的大小为
或
，视具体情况而定（如图）。
空间向量数量积运算
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空间向量基本定理
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，则
，则
。
，则
。
，则
。
，那么向量
叫做平面
的法向量。
，使得
为平面
的法向量，则
。
，
（
,
可取使
尽量简单的常数值），则法向量
。
的法向量
及平面
。 
平面
，向量
与
的夹角为
，直线L与平面
，则
，
，平面β的法向量为
，向量
所成的角为
，
，
。
的大小为
，视具体情况而定（如图）。
