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空间向量的数乘运算<-->空间向量数量积运算的应用
空间向量数量积运算
Ⅰ、空间向量数量积的概念：
⑴概念：已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做与的数量积(或内积)。记作 ，即
 。
其中θ是与的夹角，向量夹角的范围是0°≤θ≤180°。
 叫做向量 在 方向上(或 在 方向上)的投影。
如图为两向量数量积的各种关系：
⑵概念说明：
1o 零向量与任一向量的数量积为0，即 。
2o 符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“ ”代替。
3o 当0≤θ< 时，cosθ>0，从而 ；当<θ≤π时，cosθ<0，从而 ；当θ=时，cosθ=0，从而 。
Ⅱ、空间向量数量积的几何意义：
向量的数量积的几何意义为数量积等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积。
Ⅲ、空间向量数量积的运算性质：
设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量，则
⑴ ；
⑵ ；
⑶当 与 同向时， ；当与反向时， ；
特别地 或 ；
⑷  ；
⑸  。
Ⅳ、空间向量数量积的运算律：
设向量 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
⑴ (交换律)；
⑵ (数乘结合律)；
⑶ (分配律)。
Ⅴ、空间向量数量积的坐标表示：
设 ，则
 。
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
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