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双曲线的方程<-->双曲线与点的位置关系
双曲线的几何性质
①双曲线的范围
由双曲线标准方程 ，双曲线上点的坐标 满足不等式 ,
∴  ， ∴ ，得 ， 。
这表明双曲线位于两直线 的外侧区域里。
②双曲线的对称性
在双曲线标准方程里，以 代替 方程不变，所以若点在曲线上时，则点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称；
同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称；同时以代替，
代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，双曲线关于 轴、 轴和原点对称。这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心。
③双曲线的顶点
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标。
在双曲线的标准方程中，令 ， 的值不存在，则双曲线与轴无交点。令 得 ，即 ， 是双曲线与 轴的两个交点。这两个交点叫做双曲线的顶点。
记 ， ，则线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于 ， 叫做双曲线的实半轴长；线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 ， 叫做双曲线的虚半轴长。
.若 ，那么双曲线叫做等轴双曲线，其中 ，渐近线 .
若以已知双曲线的虚轴为实轴，以实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
④双曲线的定型三角形
由双曲线的对称性知，双曲线的虚轴端点到顶点的距离为 ，那么虚轴端点、顶点和中心三点构成双曲线的定型直角三角形，可称之为双曲线的定型三角形。
即在 中，  ，即 。
⑤双曲线的离心率
双曲线的焦距与长轴的比 叫双曲线的离心率。
∵ ，∴ 。由 知， 越接近 ， 就越小，对应的双曲线张口越小；
反之，越大，就越大，对应的双曲线张口越大。
⑥双曲线的渐近线
Ⅰ、焦点在x轴：双曲线  的渐近线为
 ，或 ，或 。
Ⅱ、焦点在y轴：双曲线  的渐近线为
 ，即 ，或 ，或 。
⑦双曲线的焦半径
若 是双曲线 上任一点，
 是双曲线的左焦点和右焦点，则双曲线的焦半径为
 ， ；
若是双曲线 上任一点，
是双曲线的下焦点和上焦点，则双曲线的焦半径为
 ， 。
⑧双曲线的准线
当点 到定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是双曲线，同样得到双曲线的标准方程  （其中 ）。这条定直线叫双曲线的准线。
根据图形的对称性，双曲线有两条准线，对于中心在原点，焦点在 轴上的双曲线，与焦点 对应的准线方程分别为 ；
对于中心在原点，焦点在 轴上的双曲线，与焦点 对应的准线方程分别为 。
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