双曲线的几何性质
①双曲线的范围
由双曲线标准方程，双曲线上点的坐标满足不等式,
∴ ， ∴，得，。
这表明双曲线位于两直线的外侧区域里。
②双曲线的对称性
在双曲线标准方程里，以代替方程不变，所以若点在曲线上时，则点也在曲线上，所以曲线关于轴对称；

同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称；同时以代替，
代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，双曲线关于轴、轴和原点对称。这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线的中心。
③双曲线的顶点
确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在双曲线的标准方程中，令，的值不存在，则双曲线与轴无交点。令得，即，是双曲线与轴的两个交点。这两个交点叫做双曲线的顶点。
记，，则线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长。
.若，那么双曲线叫做等轴双曲线，其中，渐近线.
若以已知双曲线的虚轴为实轴，以实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。
④双曲线的定型三角形
由双曲线的对称性知，双曲线的虚轴端点到顶点的距离为，那么虚轴端点、顶点和中心三点构成双曲线的定型直角三角形，可称之为双曲线的定型三角形。
即在中， ，即。
⑤双曲线的离心率
双曲线的焦距与长轴的比叫双曲线的离心率。
∵，∴。由知，越接近，就越小，对应的双曲线张口越小；
反之，越大，就越大，对应的双曲线张口越大。
⑥双曲线的渐近线
Ⅰ、焦点在x轴：双曲线 的渐近线为
，或，或。

Ⅱ、焦点在y轴：双曲线 的渐近线为
，即，或，或。
⑦双曲线的焦半径
若是双曲线上任一点，
是双曲线的左焦点和右焦点，则双曲线的焦半径为
，；

若是双曲线上任一点，
是双曲线的下焦点和上焦点，则双曲线的焦半径为
，。
⑧双曲线的准线
当点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线，同样得到双曲线的标准方程 （其中）。这条定直线叫双曲线的准线。
根据图形的对称性，双曲线有两条准线，对于中心在原点，焦点在轴上的双曲线，与焦点对应的准线方程分别为；
对于中心在原点，焦点在轴上的双曲线，与焦点对应的准线方程分别为。