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函数奇偶性定义

函数奇偶性定义
①严格定义:
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数
②定义内涵:
Ⅰ、在定义域内既存在x,又存在,所以其定义域必须关于原点对称。这构成了函数奇偶性的必要条件
Ⅱ、奇函数:f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0,或 (若f(x)≠0)。
偶函数:f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0,或 (若f(x)≠0)。
Ⅲ、已知函数f(x)是奇函数,若f(0)有定义,则f(0)=0;偶函数则不一定,若f(x)是偶函数,则f(x)= f(-x)ó f(x)=f(|x|)。
③定义外延:
Ⅰ、奇偶性与单调性的关系:
奇函数在对称区间(-b,-a)与(ab)上增减性相同;
偶函数在对称区间(-b,-a)与(ab)上增减性相反。
Ⅱ、奇偶性与运算的关系:
f(x),g(x)的定义域分别是D1 ,D2 ,那么在它们的公共定义域上奇偶性为:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇。
Ⅲ、奇偶性与复合函数的关系:
已知函数g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,
u=g(x),y=f(u)都是奇函数时,则y=f[g(x)]是奇函数;
u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,则y= f[g(x)]是偶函数。
详解:

(1)若函数f(x)为奇函数,且定义域中x可以等于零,则.
(2)函数f(x)与kf(x)、(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k为非零常数)。
(3)若一个奇函数有反函数,则它的反函数必是奇函数;定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
(4)存在既是奇函数又是偶函数的函数:
既是奇函数又是偶函数的函数有无数个。例如就是两个既奇又偶的函数,因为它们的定义域不同

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