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空间向量的概念
①向量定义：一般地，既有大小，又有方向的量叫做向量。
②相关概念：
Ⅰ、向量的模： 向量 (或 )的大小，就是向量(或)的长度，称为向量的模，记作||(或 )。
向量与向量的模的概念表明，向量不能比大小，向量的模可以比较大小。
Ⅱ、零向量与单位向量：
长度为0的向量叫零向量，记作 。规定零向量的方向是任意的。
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量，记作 。
概念表明，零向量、单位向量的定义都只是限制了大小，而没确定的方向。
Ⅲ、相等向量、平行向量和共线向量：
⑴相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
⑵平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量 平行，记作 。
规定零向量 与任一向量平行，即 。
⑶共线向量：平行向量也叫做共线向量。因此，共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量。
⑷区别与联系：相等向量一定是平行向量，也一定是共线向量；反之，平行向量、共线向量不一定是相等向量。平行向量可以在同一条直线上，共线向量可以不在同一条直线上。
空间向量的表示
①有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段。它有三个要素：起点、方向、长度。
②空间向量的表示：
Ⅰ、空间向量的几何表示：
⑴用“有向线段”表示。记作 。
⑵向量与有向线段的区别：有向线段只是向量的一种几何表示，不能说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”。因为向量只由方向和大小决定，而与向量起点的位置无关，但有向线段不仅与方向、长度有关，且与起点的位置有关。
Ⅱ、空间向量的字母表示：
⑴可用字母a，b，c，…表示，若印刷用粗黑体字母表示，若手写，则用字母a 头上加“→”来表示，如 ，手写体上面的箭头一定不能漏写。
⑵可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如 、 。
Ⅲ、空间向量的坐标表示：
在空间直角坐标系 中，对空间任一点 ，存在唯一的有序实数组 ，使 ，有序实数组叫作向量 （或 ）在空间直角坐标系中的坐标，记作 （或 ）， 叫横坐标,  叫纵坐标， 叫竖坐标。
显然， 。
空间向量的加法运算：
（1）空间向量加法运算的定义：
如图，已知非零向量 、 ，在空间内任取一点A，作 ， ，则向量 叫做向量与的和，记作 ，即 。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
⑵空间向量加法运算的几何意义：
1°向量加法的三角形法则：
向量加法定义给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。
2°向量加法的平行四边形法则：
如图，以同一点O为起点的两个已知向量 、 为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线 就是向量 与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
⑶空间向量加法运算律：
1o 加法交换律：  。
2o 加法结合律：  。
空间向量的减法运算
⑴空间向量减法运算的定义：
1o 相反向量：规定与向量 长度相等，方向相反的向量，叫做向量 的相反向量，记作  。
规定：零向量的相反向量是零向量。
2o 空间向量减法运算的定义：规定
 。
即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
⑵空间向量的减法运算的几何意义：
1°向量减法的平行四边形法则：
如图，已知向量 ，作向量 的相反向量 ，以空间一点O为起点，
以两个向量 、为邻边作平行四边形OACD，则以O为起点的对角线
 就是向量与的和，实质上就是向量与的差。这种作两个向量差
的方法叫做向量减法的平行四边形法则。
2°向量减法的三角形法则：
如图，已知向量、 ，在空间内任取一点O，作 ， ，
则 = ，即向量可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点
的向量，这就是向量减法的几何意义，也就是向量减法的三角形法则。
⑶空间向量加减运算的坐标表示：
已知 ， ，则
 ，
 。
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。
空间向量的数乘运算
⑴空间向量数乘运算定义：
我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 。它的长度与方向规定如下：
1o  ；
2o 当λ>0时，的方向与 的方向相同；当λ<0时，的方向与 的方向相反；当λ=0时， 。
⑵空间向量数乘运算的几何意义：平面向量数乘运算的几何意义是把向量 沿的方向或的反方向放大或缩小。
⑶空间向量数乘运算律：
设λ、μ为实数，那么
1o 对实数的结合律：  ；
2o 对实数加法的分配率： ；
3o 对向量加法的分配率： 。
⑷空间向量共线定理：如果向量 与 共线（或说 ），那么有且只有一个实数λ，使 。
⑸直线的方向向量：如果向量 与直线 平行，则称向量 为直线 的方向向量。
⑹空间向量数乘运算的坐标表示：
若 ，则 。
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
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