首页 > 数学 > 知识详解（高中） > 11直线与圆的方程

11.1.3.3对称问题

11.1.3.2距离公式<-->11.2.1.1圆的标准方程

11.1.3.3对称问题
(1)“点关于点”的对称
点

$P(x_1,y_1)$ 关于

$M(x_0,y_0)$ 的对称点

$P'$ 的坐标是

$P(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$ ;
点

$P(x_1,y_1)$ 关于坐标原点的对称点是

$P'(-x_1,-y_1)$ .
(2)“点关于直线”的对称
①求点关于直线的对称点
设

$P(x_0,y_0)$ ,

$l_1:Ax+By+C=0(A^2+B^2≠0)$ ,若

$P$ 关于

$l$ 的对称点

$Q$ 的坐标为

$(x,y)$ ,则

$l$ 是

$PQ$ 的垂直平分线,即

$PQ\bot l$ 且

$PQ$ 的中点在

$l$ 上,解方程组

$\begin{cases} \dfrac{y-y_0}{x-x_0}\cdot \left(-\dfrac{A}{B}\right) =-1\\ A \cdot \dfrac{x+x_0}{2} +B \cdot \dfrac{y+y_0}{2}+C=0 \end{cases}$
可得

$Q$ 点的坐标.
②几种特殊位置的对称:

【说明】
点

$A(x_0,y_0)$ 关于直线

$x+y+c=0$ 的对称点

$A'$ 的坐标为

$(-y_0-c,-x_0-c)$ ,关于直线

$x-y+c=0$ 的对称点

$A''$ 的坐标为

$(y_0-c,x_0+c)$ .
曲线

$f(x,y)=0$ 关于直线

$x+y+c=0$ 的对称曲线为曲线

$f(-y-c,-x-c)=0$ .
曲线

$f(x,y)=0$ 关于直线

$x-y+c=0$ 的对称曲线为

$f(y-c,x+c)=0$ .
以上这种方法用来解填空题、选择题特别有效,应加以理解并记忆.
(3)“直线关于点”的对称
直线关于点的对称直线一定是一条与已知直线平行的直线,由中点坐标公式可得.
直线

$Ax+By+C=0$ 关于点

$P(x_0,y_0)$ 的对称直线方程是

$A(2x_0-x)+B(2y_0-y)+C=0$ ,
即

$Ax+By-(2Ax_0+2By_0+C)=0$ .
(4)“直线关于直线"对称
①几种特殊位置的对称
已知曲线

$f(x,y)=0$ ,则它:
a.关于

$x$ 轴对称的曲线是

$f(x,-y)=0$ ;
b.关于

$y$ 轴对称的曲线是

$f(-x,y)=0$ ;
c.关于原点对称的曲线是

$f(-x，-y)=0$ ;
d.关于直线

$y=x$ 对称的曲线是

$f(y,x)=0$ ;
e.关于直线

$y=-x$ 对称的曲线是

$f(-y,-x)=0$ ;
f.关于直线

$x=a$ 对称的曲线是

$f(2a-x,y)=0$ ;
g.关于直线

$y=b$ 对称的曲线是

$f(x,2b-y)=0$ .
【说明】上述“直线关于点”,“直线关于直线”对称的结论对一般曲线也适合.关于直线

$y=x$ 的对称直线还可以利用反函数来求
②一般位置的对称
由平面几何知识可知,若直线

$a,b$ 关于直线

$l$ 对称,它们具有下列几何性质:
a.若

$a,b$ 相交,则

$l$ 是

$a,b$ 交角的平分线;
b.若点

$A$ 在直线

$a$ 上,则

$A$ 关于直线

$l$ 的对称点

$B$ 一定在直线

$b$ 上,这时

$AB\bot l,$ 并且

$AB$ 的中点

$D$ 在

$l$ 上;
c.

$a$ 以

$l$ 为轴旋转

$180°$ ,一定与

$b$ 重合.
③求直线

$a$ 关于直线

$l$ 对称的直线

$b$ 的方法
a.若

$a$ 与

$l$ 相交，
方法一:先求

$a$ 与

$l$ 的交点

$A$ ,再在

$a$ 上任取不同于

$A$ 的一点

$B$ ,求出

$B$ 关于

$l$ 的对称点

$B'$ ,由

$A、B'$ 求

$b$ 的方程.
方法二:求

$a$ 与

$l$ 的交点

$A$ ,在

$l$ 上任取一点

$B$ (

$B$ 不同于

$A$ ),由点

$B$ 到

$a,b$ 的距离相等求

$b$ 的斜率,再求出直线方程
b.若

$a$ 与

$l$ 不相交，
由于

$a$ 与

$l$ 不相交,则

$a//l,b//a$ .
方法一:在

$a$ 上任取一点

$A$ ,求

$A$ 关于

$l$ 的对称点

$A'$ ,由

$b//a$ ,且过点

$A'$ 求直线方程.
方法二:在

$a$ 上任取两点

$A$ 、

$B$ ,求

$A,B$ 关于

$l$ 的对称点

$A',B'$ ,由两点式求

$b$ 的方程.
方法三:由

$a//b$ ,设

$b$ 的方程,再由

$l$ 到

$a$ 的距离与

$l$ 到

$b$ 的距离相等求

$b$ 的方程
【小结】常见的对称结论有:
设直线

$l:Ax+By+C=0$
①

$l$ 关于

$x$ 轴对称的直线是

$Ax+B( -y)+C=0$ ;
②

$l$ 关于

$y$ 轴对称的直线是

$A(-x)+By+C=0$ ;
③

$l$ 关于原点对称的直线是

$A(-x)+B( -y)+C=0$ ;
④

$l$ 关于

$y=x$ 对称的直线是

$Bx +Ay+C=0$ ;
⑤

$l$ 关于直线

$y=-x$ 对称的直线是

$A(-y)+B(-x)+C=0$

11.1.3.2距离公式<-->11.2.1.1圆的标准方程

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）

活在当下，做最好的自己！

11.1.3.3对称问题