10.4.1基本不等式

[基础知识]
一、基本不等式

$\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a+b}{2}$
1．基本不等式成立的条件：

$a > 0，b > 0$ ．
2．等号成立的条件：当且仅当

$a＝b$ ．
[口诀]：“一正”“二定”“三相等” 在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立。
二、利用基本不等式求最值问题
已知

$x > 0，y > 0$ ，则
(1)如果

$xy$ 是定值

$p$ ，那么当且仅当

$x＝y$ 时，

$x＋y$ 有最小值是

$2\sqrt{p}$ (简记：积定和最小)；
(2)如果

$x＋y$ 是定值

$q$ ，那么当且仅当

$x＝y$ 时，

$xy$ 有最大值是

$\dfrac{q^2}{4}$ (简记：和定积最大)．
[拓展知识]
(1)

$a^2＋b^2 \geqslant 2ab(a，b \in R)$ ；
(2)

$\dfrac{b}{a}＋\dfrac{a}{b} \geqslant 2$ (

$a，b$ 同号)；
(3)

$ab\leqslant \left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2(a，b \in R)$ ；
(4)

$\dfrac{a^2+b^2}{2} \geqslant \left(\dfrac{a+b}{2} \right)^2(a，b\in R)$ ．

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