10.3.2高次不等式的解法

(1)一元高次不等式的概念
含有一个未知数且未知数的最高次数不小于3的不等式叫做一元高次不等式.
(2)一元高次不等式的解法
①解一元高次不等式时,通常需进行因式分
解,化为

$(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)>0(或<0)$ 的形式,然后应用区间法化为不等式组或用数轴标根法求解集.
②用数轴标根法求解一元高次不等式的步骤tnju如下:
a.化简:将原不等式化为和它同解的基本型不等式

$f(x)=(x-x_1)^{a_1}(x-x_2)^{a_2}…(x-x_n)^{a_n}>0(或<0)$
其中

$x_1,x_2,…,x_n为f(x)=0$ 的n个根,它们两两不等,通常情况下,常以

$x_1< x_2<…<x_n$ 的形式出现,

$a_1,a_2,…,a_n$ 为相同因式的幂指数,它们均为自然数,可以相等;
求解时应注意,分解因式后各因式中x的系数为正.
b.标根:将

$f(x)=0$ 的n个根

$x_1< x_2<…<x_n$ 标在数轴上,将数轴分成n+1个区间;
c.求解:若

$a_1,=a_2=…=a_n=1$ ,则从最右边区间的右上方开始画一条连续的曲线,依次穿过每一个零点

$f(x)=0$ 的根对应的数轴上的点),穿过最左边的零点后,曲线不再改变方向,向左下或左上的方向无限伸展.这样,不等式

$fx)>0$ (或

$f(x)<0$ )的解集就直观、清楚地表示在图上,这种方法叫穿针引线法(或数轴标根法);
当

$a_1,a_2,…,a_n$ 不全为1,即

$f(x)$ 分解因式出现多重因式(即方程x)=0出现重根)时,对于奇次重因式对应的根,仍穿轴而过;对于偶次
重因式对应的根,则应使曲线与轴相切.简言之函数

$f(x)$ 中有重因式时,曲线与轴的关系是“奇穿偶切”

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