3.2.8 奇函数和偶函数

函数奇偶性定义
①严格定义：
对于函数$f(x)$的定义域内的任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。
对于函数$f(x)$的定义域内的任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数。
②定义内涵：
Ⅰ、在定义域内既存在$x$，又存在$-x$，所以其定义域必须关于原点对称。这构成了函数奇偶性的必要条件。
Ⅱ、奇函数：$f(-x)=-f(x) \Leftrightarrow f(-x)+f(x)=0$，或 $\dfrac{f(-x)}{f(x)}=-1$（若$f(x)≠0$）。
偶函数：$f(-x)=f(x) \Leftrightarrow f(-x)-f(x)=0$，或 $\dfrac{f(-x)}{f(x)}=1$（若$f(x)≠0$）。
Ⅲ、已知函数f(x)是奇函数，若f(0)有定义，则f(0)=0；偶函数则不一定，若f(x)是偶函数，则f(x)= f(-x)ó f(x)=f(|x|)。
③定义外延：
Ⅰ、奇偶性与单调性的关系：
奇函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相同；
偶函数在对称区间(-b,-a)与(a，b)上增减性相反。
Ⅱ、奇偶性与运算的关系：
设f(x),g(x)的定义域分别是D₁ ,D₂ ，那么在它们的公共定义域上奇偶性为：
奇+奇=奇，奇

奇=偶，偶+偶=偶，偶

偶=偶，奇

偶=奇。
Ⅲ、奇偶性与复合函数的关系：
已知函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，
若u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，则y=f[g(x)]是奇函数；
若u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，则y= f[g(x)]是偶函数。

详解：

(1)若函数f(x)为奇函数，且定义域中x可以等于零，则.
(2)函数f(x)与kf(x)、(f(x)≠0)的奇偶性相同（其中k为非零常数）。
(3)若一个奇函数有反函数，则它的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
(4)存在既是奇函数又是偶函数的函数：。
既是奇函数又是偶函数的函数有无数个。例如，；，就是两个既奇又偶的函数，因为它们的定义域不同