首页 > 数学 > 知识详解（高中） > 03基本初等函数(I)

3.1.2 映射

3.1.1 函数的定义<-->3.1.3 函数的定义域

（1）映射的定义
设

$A$ ，

$B$ 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系

$f$ ，对于集合

$A$ 中的任意一个元素

$x$ ，在集合

$B$ 中都有唯一确定的元素

$y$ 与之对应，那么就称对应

$f:A \to B$ 为从集合

$A$ 到集合

$B$ 的一个映射。

（2）映射

$f:A \to B$ 的三个特性
①存在性：对于

$A$ 中的任一元素

$a$ ，在

$B$ 中必存在元素

$b$ 与之对应：

$a \to b=f(a)$ ；
②唯一性：

$A$ 中每一个元素

$a$ ，

$f(a)$ 是唯一的，即

$a=b \Rightarrow f(a)=f(b)$ ；
③封闭性：

$A$ 中每一个元素

$a$ ，

$f(a)$ 必须在

$B$ 中，即

$f(a) \in B$

【说明】
①任意性：映射中的两个集合

$A$ 、

$B$ 可以是数集、点集或由图形组成的集合.
②在映射

$f:A \to B$ 中，集合

$A$ ，集合

$B$ ，对应关系

$f$ 三位一体，缺一不可.
③映射是有方向的.“

$A$ 到

$B$ 的映射”不能说成“

$B$ 到

$A$ 的映射”，也不能说成“

$A$ 与

$B$ 之间的映射”.
④映射中的“对应”包括“一对一”和“多对一”，但不包括“一对多”或“多对多”.

（3）一一映射
设

$A$ 、

$B$ 是两个集合，

$f:A \to B$ 是集合

$A$ 到集合

$B$ 的映射，如果在这个映射下，对于集合

$A$ 中的不同元素，在集合

$B$ 中有不同的元素与之对应，而且

$B$ 中每一个元素都有A中的元素与之对应，那么这个映射叫做

$A$ 到

$B$ 上的一一映射.

（4）映射与函数的联系与区别
①函数一定是映射，但映射不一定是函数.
②在函数中，

$A$ ，

$B$ 是两个数集，即

$A$ ，

$B$ 中的元素都是实数，但映射中，

$A$ ，

$B$ 的元素不一定是实数.

3.1.1 函数的定义<-->3.1.3 函数的定义域

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