高考数学必做百题第56题（理科2017版）

（2）要制造一种机器零件，甲机床废品率为$0.05$，而乙机床废品率为$0.1$，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：

①其中至少有一件废品的概率；②其中至多有一件废品的概率。

解：（1）∵“取到的2个数之和为偶数”分为“奇奇”或“偶偶”，

∴$P\left( A \right)=\dfrac{C_{3}^{2}+C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$。

∵$AB$表示事件$A,B$同时发生，

∴$P\left( AB \right)=\dfrac{C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}=\dfrac{1}{10}$。

由条件概率计算公式，得

$P\left( B|A \right)=\dfrac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{2}{5}}=\dfrac{1}{4}$。

（2）设事件$A$为“从甲机床抽得的一件是废品”；$B$为“从乙机床抽得的一件是废品”，则

$P(A)=0.05,\ \ P(B)=0.1$。

∵事件$A,B$相互独立，

∴事件$A,B,\overline{A},\overline{B}$，$A\cdot B,\overline{A}\cdot B,A\cdot \overline{B}$都相互独立。

①至少有一件废品的概率为

$P=P(A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot B+A\cdot B)$ $\text{=}P\left( A \right)P\left( \overline{B} \right)+P\left( \overline{A} \right)P\left( B \right)+P\left( A \right)P\left( B \right)$$=0.05\times 0.9+0.95\times 0.1+0.05\times 0.1=0.145$，

或$P(A+B)=1-P(\overline{A+B})=1-P(\overline{A})\cdot P(\overline{B})$

$=1-0.95\times 0.90=0.145$。

②至多有一件废品的概率为

$P=P(A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot B+\overline{A}\cdot \overline{B})$

$\text{=}P\left( A \right)P\left( \overline{B} \right)+P\left( \overline{A} \right)P\left( B \right)+P\left( \overline{A} \right)P\left( \overline{B} \right)$

$=0.05\times 0.9+0.95\times 0.1+0.95\times 0.9=0.995$。